Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Vorlesung 4/kontrolle

Zifferndarstellung reeller Zahlen

Die Zifferndarstellung (oder Ziffernentwicklung) einer natürlichen Zahl haben wir bereits besprochen, für eine negative ganze Zahl nimmt man einfach die zugehörige positive Zahl und schreibt ein Minuszeichen davor. Die zu einer Ziffernfolge gehörende Zahl gewinnt man, indem man aus der Ziffernfolge eine Vorschrift herausliest, was zu addieren, was zu multiplizieren, und was zu potenzieren ist (wobei Potenzieren eine bestimmte Form der Multiplikation ist). Beispielsweise ist die Ziffernfolge

$5071$

zu verstehen als

$5\cdot 10^{3}+0\cdot 10^{2}+7\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}.$

Man muss also lediglich die Ziffern ${}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ und die Zahl ${}10$ sowie Addition und Multiplikation kennen, um die Ziffernfolge richtig zu interpretieren. Die Zifferndarstellung beruht also auf einer Kodierung von Rechenvorschriften. Die Operationen Addition und Multiplikation sollte man dabei als fundamentaler für die Zahlen ansehen als das Ziffernsystem, das lediglich eine geschickte Benennung darstellt.

Für reelle Zahlen gibt es ebenfalls eine solche Ziffernentwicklung, wobei diese allerdings im Allgemeinen mit unendlich vielen Ziffern beschrieben werden. Die Bedeutung dieser Ziffernentwicklung ergibt sich im Kontext von Folgen und Reihen in Zusammenhang mit der sogenannten Vollständigkeit der reellen Zahlen. Es ist nicht möglich, eine Zifferndarstellung als reelle Zahl allein mittels Addition und Multiplikation zu interpretieren.

Wir betrachten zunächst eine abbrechende Ziffernentwicklung, wobei wir uns erstmal auf das Dezimalsystem beschränken. Es sei die Zahl

${}x=5071{,}89826\,$

gegeben. Sie ist zu interpretieren als die Zahl

$5\cdot 10^{3}+0\cdot 10^{2}+7\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}+8\cdot 10^{-1}+9\cdot 10^{-2}+8\cdot 10^{-3}+2\cdot 10^{-4}+6\cdot 10^{-5}.$

Hier schreiben wir ${}10^{-k}$ statt ${}{\frac {1}{10^{k}}}$. Diese Zahl kann man auch direkt als Bruch

${\frac {507189826}{100000}}$

auffassen, es liegt also insbesondere eine rationale Zahl vor, und zwar eine mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Um also eine abbrechende Ziffernfolge richtig als Zahl zu interpretieren, muss man addieren, multiplizieren und auch durch Zehnerpotenzen teilen können.

Welche Bedeutung hat nun eine unendliche Ziffernentwicklung, wie

${}x=5071{,}89802649511160350095368527351203476006836203451723487\dotso \,?$

Zunächst mal gar keine, da ja gar nicht klar ist, was mit den Punkten zum Schluss gemeint ist, wie die Zifferndarstellung weiter geht. Eine solche Schreibweise ergibt allenfalls dann Sinn, wenn in den angeführten Ziffern ein Muster erkennbar ist, dessen Fortführung ins Unendliche dann die vollständige Ziffernfolge festlegt, wie bei

${}y=5071{,}898089808980898089808980898089808980898089808980\dotso \,$

oder bei

${}z=5071{,}010110111011110111110111111011111110\dotso \,.$

Man kann ein Bildungsgesetz für die unendlich vielen Ziffern auf jede beliebige Weise angeben, solange nur jede Ziffer einen eindeutigen Wert bekommt.

Es sei jetzt eine irgendwie festgelegte unendliche Ziffernfolge gegeben. Welche Zahl verbirgt sich dahinter? Bei den abbrechenden Zahlen haben wir schon verwendet, dass die ${}k$-te Nachkommastelle sich auf ${}10^{-k}={\left({\frac {1}{10}}\right)}^{k}$ bezieht. Nach dem oben angeführten Gesetz, wie eine Ziffernfolge als Zahl zu interpretieren ist, sollte eine Ziffernfolge

$0{,}z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5}z_{6}...$

als

$z_{1}10^{-1}+z_{2}10^{-2}+z_{3}10^{-3}+z_{4}10^{-4}+z_{5}10^{-5}+z_{6}10^{-6}+\cdots$

zu interpretieren sein. Dies ist eine „unendliche Summe“, und sowas ist nicht definiert. Ausdrücke wie

$1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+\cdots$

oder

$1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+\cdots$

lassen erkennen, dass man auch keine sinnvolle Interpretation für beliebige unendliche Summen erwarten darf. Allerdings ist es möglich, und zwar unter sehr restriktiven Voraussetzungen, gewisse unendliche Summen in sinnvoller Weise als reelle Zahlen zu interpretieren. Dies benötigt einige Vorbereitungen, doch dadurch werden letztlich auch die unendlichen Dezimalentwicklungen gerechtfertigt.

Mit der Interpretation der ${}k$-ten Nachkommastelle als ${}10^{-k}$ (bzw. $z_{k}10^{-k}$), die ja mit wachsendem ${}k$ kleiner werden, hängt zusammen, dass zu einer unendlichen Ziffernfolge die abgeschnittene Ziffernfolge bis zur ${}k$-ten Nachkommastelle eine rationale Approximation der Zahl liefert, und dass mit wachsendem ${}k$ die Approximationen immer besser werden. Für die Ziffernfolge

${}x=5071{,}010110111011110111110111111011111110\,$

sind also

${}x_{0}=5071\,$

${}x_{1}=5071{,}0\,$

${}x_{2}=5071{,}01\,$

${}x_{3}=5071{,}010\,$

${}x_{4}=5071{,}0101\,$

${}x_{5}=5071{,}01011\,$

${}x_{6}=5071{,}010110\,$

${}x_{7}=5071{,}0101101\,$

zunehmend bessere Approximationen (wenn eine ${}0$ dazukommt, kann man sich darüber streiten). All diese ${}x_{i}$ sind rationale Zahlen, die zunehmend genauere Information über die durch die unendliche Ziffernfolge anvisierte Zahl beinhalten. Wir können also Ziffernfolgen als eine Folge von rationalen Approximationen auffassen. Eine fundamentale Beobachtung ist nun, dass Ziffernfolgen im Allgemeinen nicht die schnellste oder die beste Approximation einer Zahl geben, sondern dass häufig anders gelagerte Folgen besser sind. Deshalb werden die Approximationseigenschaften der reellen Zahlen über die fundamentalen Begriffe Folge und Konvergenz erfasst.

Heron von Alexandria (1. Jahrhundert n.C.)

Reelle Zahlenfolgen

Wir betrachten nun ein Beispiel, das ebenfalls zu Approximationen führt, aber nichts mit der Dezimalbruchentwicklung zu tun hat, nämlich Quadratwurzeln aus natürlichen (oder reellen) Zahlen. Die Quadratwurzel zu ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ ist diejenige (eindeutig bestimmte) reelle nichtnegative Zahl, deren Quadrat ${}a$ ergibt. Innerhalb der rationalen Zahlen gibt es keine Wurzeln, so dass dies ein deutlicher Hinweis ist, dass sich viele Rechenoperationen nicht innerhalb der rationalen Zahlen durchführen lassen. Siehe Aufgabe 3.8 und Aufgabe 3.9.

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl „berechnen“, sagen wir von ${}5$. Eine solche Zahl ${}x$ mit der Eigenschaft ${}x^{2}=5$ gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn ${}x\in R$ ein solches Element ist, so hat auch ${}-x$ diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nach Aufgabe 4.5 nicht geben, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.

Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung ${}x^{2}=5$ gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unter jede gewünschte positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig anzunähern, ist das Heron-Verfahren, das man auch babylonisches Wurzelziehen nennt. Dies ist ein iteratives Verfahren, d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit ${}a:=x_{0}:=2$ als erster Näherung. Wegen

${}x_{0}^{2}=2^{2}=4<5\,$

ist ${}x_{0}$ zu klein, d.h. es ist ${}x_{0}<x$. Aus ${}a^{2}<5$ (mit ${}a$ positiv) folgt zunächst ${}5/a^{2}>1$ und daraus ${}(5/a)^{2}>5$, d.h. ${}5/a>{\sqrt {5}}$. Man hat also die Abschätzungen

${}a<{\sqrt {5}}<5/a\,,$

wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo ${}{\sqrt {5}}$ liegt. Die Differenz ${}5/a-a$ ist ein Maß für die Güte der Approximation.

Beim Startwert ${}2$ ergibt sich, dass die Quadratwurzel ${}{\sqrt {5}}$ zwischen ${}2$ und ${}5/2$ liegt. Man nimmt nun das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also

${}x_{1}:={\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}\,.$

Wegen ${}{\left({\frac {9}{4}}\right)}^{2}={\frac {81}{16}}>5$ ist dieser Wert zu groß und daher liegt ${}{\sqrt {5}}$ im Intervall ${}[5\cdot {\frac {4}{9}},{\frac {9}{4}}]$. Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt

${}x_{2}:={\frac {5\cdot {\frac {4}{9}}+{\frac {9}{4}}}{2}}={\frac {161}{72}}\,$

als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von ${}{\sqrt {5}}$.

Allgemein ergibt sich das folgende Heron-Verfahren.

Beispiel Referenznummer erstellen

Beim Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ einer positiven Zahl ${}c$ geht man iterativ wie folgt vor. Man startet mit einem beliebigen positiven Startwert ${}x_{0}$ und berechnet davon das arithmetische Mittel aus ${}x_{0}$ und ${}{\frac {c}{x_{0}}}$. Dieses Mittel nennt man ${}x_{1}$. Es gilt

${}x_{1}^{2}-c={\left({\frac {x_{0}+{\frac {c}{x_{0}}}}{2}}\right)}^{2}-c={\frac {x_{0}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{0}^{2}}}}{4}}-c={\frac {x_{0}^{2}-2c+{\frac {c^{2}}{x_{0}^{2}}}}{4}}={\left({\frac {x_{0}-{\frac {c}{x_{0}}}}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$

D.h. dass ${}x_{1}$ mindestens so groß wie ${}{\sqrt {c}}$ ist. Auf ${}x_{1}$ wendet man iterativ das gleiche Verfahren an und erhält so ${}x_{2}$ usw. Die rekursive Definition von ${}x_{n+1}$ lautet also

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,.$

Nach Konstruktion weiß man, dass ${}{\sqrt {c}}$ in jedem Intervall ${}[c/x_{n},x_{n}]$ (für ${}n\geq 1$) liegt, da aus ${}x_{n}^{2}\geq c$ direkt ${}{\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}={\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}\leq {\frac {c^{2}}{c}}=c$ folgt. Bei jedem Schritt gilt

${}[{\frac {c}{x_{n+1}}},x_{n+1}]\subseteq [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]\,,$

d.h. das Nachfolgerintervall liegt innerhalb des Vorgängerintervalls. Dabei wird bei jedem Schritt die Intervalllänge mindestens halbiert.

Das eben beschriebene Verfahren liefert also zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine reelle Zahl, die eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, so dass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz.

Definition Referenznummer erstellen

Eine reelle Folge ist eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.$

Eine Folge wird zumeist als ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, oder einfach nur kurz als ${}(x_{n})_{n}$ geschrieben. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen ${}\geq N$. Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen. Grundsätzlich gibt es Folgen in jeder Menge, für die meisten Eigenschaften, für die man sich im Kontext von Folgen interessiert, braucht man aber eine zusätzliche „topologische Struktur“, wie sie in ${}\mathbb {R}$ existiert. Dies gilt insbesondere für den folgenden Begriff.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und es sei ${}x\in \mathbb {R}$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist

Zu jedem positiven ${}\epsilon >0$, ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Man sollte sich dabei das vorgegebene ${}\epsilon$ als eine kleine, aber positive Zahl vorstellen, die eine gewünschte Zielgenauigkeit (oder erlaubten Fehler) ausdrückt. Die natürliche Zahl ${}n_{0}$ ist dann die Aufwandszahl, die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar so zu erreichen, dass alle ab ${}n_{0}$ folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner der Fehler, also je besser die Approximation sein soll, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand. Statt mit beliebigen positiven reellen Zahlen ${}\epsilon$ kann man auch mit den Stammbrüchen, also den rationalen Zahlen ${}{\frac {1}{k}}$, ${}k\in \mathbb {N} _{+}$, arbeiten, siehe Aufgabe 4.7.

Zu einem ${}\epsilon >0$ und einer reellen Zahl ${}x$ nennt man das Intervall ${}]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ auch die ${}\epsilon$-Umgebung von ${}x$. Eine Folge, die gegen ${}0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

Beispiel Referenznummer erstellen

Eine konstante Folge ${}x_{n}:=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert ${}c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes ${}\epsilon >0$ als Aufwandszahl ${}n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja

${}\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$

für alle ${}n$.

Die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

ist konvergent mit dem Grenzwert ${}0$. Es sei dazu ein beliebiges positives ${}\epsilon$ vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon$. Insgesamt gilt damit für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

Lemma Referenznummer erstellen

Eine reelle Folge

besitzt maximal einen Grenzwert.

Beweis

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte ${}x,y$, ${}x\neq y$, gibt. Dann ist ${}d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten ${}\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$

und wegen der Konvergenz gegen ${}y$ gibt es ein ${}n_{0}'$ mit

$\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für ${}n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei ${}n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

${}d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$

$\Box$

Rechenregeln für Folgen

Lemma Lemma 4.7 ändern

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

3. Für ${}c\in \mathbb {R}$ gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,.$

4. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

5. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

(1). Es seien ${}x$ bzw. ${}y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$

ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein ${}n_{0}'$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}'$ die Abschätzung

${}\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$

gilt. Sei

${}N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$

Dann gilt für alle ${}n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

(2). Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt ***** insbesondere beschränkt und daher existiert ein ${}D>0$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Sei ${}x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und ${}y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen ${}C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Für die anderen Teile siehe Aufgabe *****, {{:Kurs:Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/3/Fakt/Beweis/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/3/Fakt/Beweis/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} und Aufgabe *****. {{:Kurs:Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/5/Fakt/Beweis/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/5/Fakt/Beweis/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}}

$\Box$

 

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