Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 19

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei . Zeige, dass ist, dass also die Norm zum von erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei eine -Basis von . Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen -Tupeln aus .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei eine -Basis von mit Diskriminante

Es sei . Zeige, dass eine -Basis des Hauptideals bildet und dass gilt:


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene -Basen von an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.


Aufgabe (max. 4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe (3 Punkte)

Gehe zur Seite

Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln

und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige: ist genau dann ein Unterkörper von , wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Sei ein Körper und eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von , ähnlich wie in Lemma 19.9.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme im Polynomring alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass die irreduziblen Polynome genau die irreduziblen Elemente in sind.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.