Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 22

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

$R_{S}$

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst ${}M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in ${}S$, also

${}M={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r\in R,\,s\in S\right\}}\,.$

Zeige, dass durch

${\frac {r}{s}}\sim {\frac {r'}{s'}}{\text{ genau dann, wenn es ein }}t\in S{\text{ mit }}trs'=tr's{\text{ gibt}},$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit ${}R_{S}$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf ${}R_{S}$ eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow R_{S}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow A$

ein Ringhomomorphismus derart, dass ${}\varphi (s)$ eine Einheit in ${}A$ ist für alle ${}s\in S$. Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in ${}R$ ein multiplikatives System bildet.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f\in R$ ein Element und ${}R_{f}$ die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass ${}f$ genau dann nilpotent ist, wenn ${}R_{f}$ der Nullring ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl, sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und sei ${}A_{D}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme an ${}2$ ein Ringisomorphismus

$R_{2}\longrightarrow (A_{D})_{2}$

vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}n$ und ${}k$ teilerfremde Zahlen und sei

${}\mathbb {Z} \subseteq R\,$

ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie

${}R/(n)\cong (R_{k})/(n)\,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ normal ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich, sei ${}f\in R$ und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}$ genau dann ist, wenn für alle Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl, sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und sei ${}A_{D}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl ${}p$ ein Isomorphismus

$\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]/(p)\longrightarrow (A_{D})/(p)$

vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei ${}p=2$ nicht sein muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in ${}R_{S}$ genau denjenigen Primidealen in ${}R$ entsprechen, die mit ${}S$ einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${}a$ oder ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.