Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 22

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Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst die Menge der formalen Brüche mit Nenner in , also

Zeige, dass durch

eine Äquivalenzrelation auf definiert ist. Wir bezeichnen mit die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und kommutative Ringe und sei ein multiplikatives System. Es sei

ein Ringhomomorphismus derart, dass eine Einheit in ist für alle . Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

der fortsetzt.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in ein multiplikatives System bildet.


Aufgabe (Punkte)

Sei ein kommutativer Ring, ein Element und die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn der Nullring ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl, sei und sei der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme von ein Ringisomorphismus

vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und teilerfremde Zahlen und sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie

gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme normal ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann ist, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl, sei und sei der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl ein Isomorphismus

vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei nicht sein muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in genau denjenigen Primidealen in entsprechen, die mit einen leeren Durchschnitt haben.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise für einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 22.14 formuliert sind.