Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 24

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Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element , , den Hauptdivisor zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist .
  2. Es ist .

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor den „konjugierten Divisor“ . Zeige, dass für , , die Beziehung

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.


Aufgabe (2 Punkte)

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich

Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.


Aufgabe (4 Punkte)

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich

Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei (mit ) ein Ideal in einem Zahlbereich und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal die Gestalt

hat. Zeige, dass ein Hauptideal sein muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein -Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“

und zeige, dass sie ein -Modul ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise Lemma 24.10.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.11 aus.