Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 5

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Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe (3 Punkte)

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , und .


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Restklasse von modulo .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die eulersche Funktion für natürliche Zahlen die Eigenschaft

erfüllt.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in .


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Lemma 5.9, dass also der kanonische Homomorphismus surjektiv ist ( Primzahl).


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen und mit der kanonische Homomorphismus

surjektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler von mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus

gilt, dass in genau dann eine Einheit ist, wenn in eine Einheit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl bezeichne den Exponenten, mit dem die Primzahl in der Primfaktorzerlegung von vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt .

c) Finde eine Fortsetzung der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei mit der Multiplikation und mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei . Betrachte die beiden Unterringe

der komplexen Zahlen ( ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in , die in nicht assoziiert sind, wohl aber in . Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in , das nicht prim ist (in ). Ist es prim in ?


Für eine Lösung des folgenden Collatz-Problems haben verschiedene Autoren einen Preis ausgesetzt. Lösungen bitte an die Autoren. Für akzeptierte und prämierte Erstlösungen gibt es hier zusätzlich 160 Punkte, und Sie wären damit automatisch zur Klausur zugelassen.

Aufgabe (200 Punkte)

Für positive ganze Zahlen betrachten wir folgenden Algorithmus.

Wenn gerade ist, so ersetze durch die Hälfte.
Wenn ungerade ist, so multipliziere mit und addiere dann dazu.

Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl früher oder später bei landet?