Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 5

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(13)$, ${}\mathbb {Z} /(17)$ und ${}\mathbb {Z} /(19)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Restklasse von ${}2^{1563}$ modulo ${}23$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass

$1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdots (p-4)^{2}\cdot (p-2)^{2}=(-1)^{\frac {p+1}{2}}\mod p$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ für natürliche Zahlen ${}n,m$ die Eigenschaft

${}{\varphi (\operatorname {ggT} (m,n))}\cdot {\varphi (\operatorname {kgV} (m,n))}={\varphi (n)}\cdot {\varphi (m)}\,$

erfüllt.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

${}{\varphi (n)}=n\cdot \prod _{p{|}n,\ p{\text{ prim}}}{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in ${}{\mathbb {Z} }/(72)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Lemma 5.9, dass also der kanonische Homomorphismus ${}(\mathbb {Z} /(p^{r}))^{\times }\rightarrow (\mathbb {Z} /(p))^{\times }$ surjektiv ist (${}p$ Primzahl).

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}k$ und ${}n$ mit ${}k\,{|}\,n$ der kanonische Homomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(k)\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler ${}k$ von ${}n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$

gilt, dass ${}a$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ genau dann eine Einheit ist, wenn ${}\varphi (a)$ in ${}\mathbb {Z} /(k)$ eine Einheit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl ${}n\neq 0$ bezeichne ${}\nu _{p}(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt ${}\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)$.

c) Finde eine Fortsetzung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und ${}\mathbb {Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$. Betrachte die beiden Unterringe

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]\subset \mathbb {Z} [\omega ]=S\,$

der komplexen Zahlen (${}S$ ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in ${}R$, die in ${}R$ nicht assoziiert sind, wohl aber in ${}S$. Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in ${}R$, das nicht prim ist (in ${}R$). Ist es prim in ${}S$?

Für eine Lösung des folgenden Collatz-Problems haben verschiedene Autoren einen Preis ausgesetzt. Lösungen bitte an die Autoren. Für akzeptierte und prämierte Erstlösungen gibt es hier zusätzlich 160 Punkte, und Sie wären damit automatisch zur Klausur zugelassen.

Aufgabe (200 Punkte)

Für positive ganze Zahlen ${}n$ betrachten wir folgenden Algorithmus.

Wenn ${}n$ gerade ist, so ersetze ${}n$ durch die Hälfte.

Wenn ${}n$ ungerade ist, so multipliziere ${}n$ mit ${}3$ und addiere dann ${}1$ dazu.

Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl ${}n$ früher oder später bei ${}1$ landet?