Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 1

In der Zahlentheorie wollen wir Eigenschaften der ganzen Zahlen verstehen. Dazu ist es sinnvoll, nicht nur $\mathbb{Z}$ selbst zu betrachten, sondern auch davon abgeleitete Objekte, wie Restklassenringe (Modulare Arithmetik), Ringe der ganzen Zahlen in Körpererweiterungen von $\mathbb{Q}$, wie etwa den Ring der Gaussschen Zahlen, Lokalisierungen und Komplettierungen wie die $p$-adischen Zahlen. Die grundlegende Gemeinsamkeit dieser Objekte ist, dass es sich um kommutative Ringe handelt. Deshalb werden wir von Anfang an die benötigten Begriffe auf der Ringebene entwickeln.

Beispiel

Betrachten wir die Frage, welche natürlichen Zahlen die Summe von zwei Quadratzahlen sind. Anders formuliert, für welche $n$ hat die Gleichung

$n=x^2+y^2$

Lösungen mit ganzen Zahlen $x,y$? Es ist

$0=0+0$

$1=1+0$

$2=1+1$

$3$

$4=4+0$

$5=4+1$

$6$

$7$

$8=4+4$

$9=9+0$

$10=9+1$

$11$

$12$

$13=9+4$

$14$

$15$

$16=16+0$

$17=16+1$

$18=9+9$

$19$

$20=16+4$

Erkennt man hier schon eine Struktur? Es ist in der Zahlentheorie üblich, solche Fragen erstmal für Primzahlen zu verstehen, und die Ergebnisse dann auf zusammengesetzte Zahlen zu übertragen. Von den Primzahlen $\le 20$ sind $3,7,11,19$ keine Summe von zwei Quadraten, während $2,5,13$ und $17$ es sind. Es fällt auf, dass die Zahlen der ersten Reihe alle den Rest $3$ bei Division durch $4$ haben, und die Zahlen der zweiten Reihe (von $2$ abgesehen) den Rest $1$. Hier zeigt sich bereits, dass es sinnvoll ist, zu anderen Ringen überzugehen, um Fragen über natürliche oder ganze Zahlen zu beantworten. Die Restabbildung zur Division mit Rest durch $4$ ist ein Ringhomomorphismus

$\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(4)=\{0,1,2,3\},n⟼nmod4.$

Dabei ist in $\mathbb{Z}/(4)$ die Addition und die Multiplikation modulo $4$ erklärt, also etwa  $3\cdot 3=9=1$.  Die Abbildung respektiert also die Addition und die Multiplikation. Wenn nun die Gleichung

$n=x^2+y^2$

in $\mathbb{Z}$ eine Lösung besitzt, so liefert das sofort auch eine Lösung modulo $4$, nämlich

$n=x^2+y^{2}mod4$

bzw.

$(nmod4)=(xmod4{)}^2+(ymod4{)}^2$

oder

$\bar{n}={\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2.$

Nun sind aber in $\mathbb{Z}/(4)$ die Quadrate einfach

$0^2=2^2=0$

und

$1^2=3^2=1$

und damit sind $0,1$ und $2$ Summen von zwei Quadraten in $\mathbb{Z}/(4)$, aber nicht $3$. Es bestätigt sich also bereits die obige Beobachtung, dass natürliche Zahlen (nicht nur Primzahlen), die den Rest $3$ modulo $4$ haben, nicht die Summe von zwei Quadraten sein können.

Für Primzahlen mit dem Rest $1$ modulo $4$ liefert die Betrachtung im Restklassenring $\mathbb{Z}/(4)$ natürlich nur, dass eine notwendige Bedingung erfüllt ist, woraus sich natürlich noch lange nicht auf eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten schließen lässt. Die Zahl $21$ zeigt auch, dass eine Zahl, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzt, nicht notwendig selbst die Summe von zwei Quadraten ist. Wir werden aber im Verlauf der Vorlesung sehen, dass es für Primzahlen mit dieser Restbedingung gilt. Dafür werden wir in einem weiteren Ring arbeiten, nämlich im Ring der Gaußschen Zahlen

$\mathbb{Z}[\mathrm{i}]=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\mathrm{i}$

(einem Unterring der komplexen Zahlen). Dort können wir

$n=x^2+y^2=(x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y)$

schreiben, wodurch die Frage, ob eine Zahl Summe von zwei Quadraten ist, mit der Frage der multiplikativen Zerlegung von natürlichen Zahlen in diesem neuen Ring in Zusammenhang gebracht wird.

Wir erinnern kurz an die Definition eines Ringes und eines kommutativen Ringes.

Definition

Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. $(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
2. $(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
3. Es gelten die Distributivgesetze, also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle  $a,b,c\in R$. 

Definition

Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Das wichtigste Beispiel für uns ist der (kommutative) Ring der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. Wir werden aber noch viele weitere Ringe kennenlernen, die zahlentheoretisch relevant sind. Wir verwenden wie üblich die Konvention, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition und schreiben in der Regel $ab$ anstatt $a\cdot b$.

Teilbarkeitsbegriffe

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein  $c\in R$  derart gibt, dass  $b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch $a|b$.

Lemma

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

1. Für jedes Element $a$ gilt $1\mid a$ und $a\mid a$.
2. Für jedes Element $a$ gilt $a\mid 0$.
3. Gilt $a\mid b$ und $b\mid c$, so gilt auch $a\mid c$.
4. Gilt $a\mid b$ und $c\mid d$, so gilt auch $ac\mid bd$.
5. Gilt $a\mid b$, so gilt auch $ac\mid bc$ für jedes  $c\in R$. 
6. Gilt $a\mid b$ und $a\mid c$, so gilt auch $a\mid rb+sc$ für beliebige Elemente  $r,s\in R$. 

Beweis

Siehe Aufgabe 17.5.

$◻$

Definition

Ein Element $u$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element  $v\in R$  mit  $uv=1$  gibt.

Bemerkung  

Eine Einheit ist also ein Element, das die $1$ teilt. Das Element $v$ mit der Eigenschaft  $uv=1$  ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch $w$ die Eigenschaft  $uw=1$,  so ist

$v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w.$

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte $v$ mit  $uv=1$  nennt man das (multiplikativ) Inverse zu $u$ und bezeichnet es mit $u^{-1}$. Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit $1$ als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von $R$ nennt. Sie wird mit $R^{\times }$ bezeichnet.

In den Ringen, die uns bisher begegnet sind, sind die Einheitengruppen einfach zu bestimmen. Es ist  ${\mathbb{Z}}^{\times }=\{1,-1\}$  und  ${(\mathbb{Z}/(4))}^{\times }=\{1,3\}$.  Im Ring der Gaußschen Zahlen gibt es vier Einheiten: $1,-1,\mathrm{i},-\mathrm{i}$.

Definition

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes $R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit  $u\in R$  derart gibt, dass  $a=ub$  ist.

Bemerkung  

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Siehe Aufgabe 1.1.

Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.

Lemma

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

1. $-1$ ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
2. Jede Einheit teilt jedes Element.
3. Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt $a|c$ genau dann, wenn $b|c$.
4. Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe 1.3.

$◻$

Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie äquivalent.

Definition

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung  $p=ab$  nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition

Eine Nichteinheit  $p\ne 0$  in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn Folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass $1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die $1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist.

Vor dem nächsten Lemma erinnern wir an den Begriff des Integritätsbereiches. Häufig wird die Teilbarkeitstheorie nur für Integritätsbereiche entwickelt.

Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Ein Nullteiler ist ein Element $x$ mit der Eigenschaft, dass es ein von null verschiedenes Element $y$ mit $xy=0$ gibt. Die Null ist in einem von null verschieden Ring stets ein Nullteiler. Nullteilerfrei bedeutet, dass die Null der einzige Nullteiler ist bzw. dass alle von null verschiedenen Elemente keine Nullteiler oder Nichtnullteiler sind. Nullteilerfrei kann man auch so formulieren, dass aus einer Gleichung  $xy=0$  folgt, dass  $x=0$  oder  $y=0$  ist.

Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn  $R\ne 0$  ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

In einem Körper sind also alle von null verschiedenen Elemente Einheiten (und insbesondere Nichnullteiler). Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche. In einem Körper ist die Teilbarkeitsbeziehung uninteressant, da jedes von null verschiedene Element jedes andere Element teilt.

Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung  $p=ab$.  Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir  $a=ps$.  Dann ist  $p=psb$  bzw.  $p(1-sb)=0$.  Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt  $1=sb$,  sodass also $b$ eine Einheit ist.

$◻$

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