Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung

${\phi }^{\ast }:{\mathrm{Hom}}_K(W,K)=W^{\ast }⟶{\mathrm{Hom}}_K(V,K)=V^{\ast },f⟼f\circ \phi ,$

die duale Abbildung zu $\phi$.

Diese Zuordnung beruht also einfach darauf, dass man die Hintereinanderschaltung

$V\stackrel{\phi }{⟶}W\stackrel{f}{⟶}K$

betrachtet. Die duale Abbildung ist ein Spezialfall von der in Fakt  (1) beschriebenen Situation. Insbesondere ist die duale Abbildung wieder linear.

Lemma

Es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ und es seien

$\psi :U⟶V$

und

$\phi :V⟶W$

lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für die duale Abbildung gilt

   ${(\phi \circ \psi )}^{\ast }={\psi }^{\ast }\circ {\phi }^{\ast }.$

2. Für die Identität auf $V$ ist

   ${{\mathrm{Id}}_V}^{\ast }={\mathrm{Id}}_{V^{\ast }}.$

3. Wenn $\psi$ surjektiv ist, so ist ${\psi }^{\ast }$ injektiv.
4. Wenn $\psi$ injektiv ist, so ist ${\psi }^{\ast }$ surjektiv.

Beweis

1. Für  $f\in W^{\ast }$  ist

   ${(\phi \circ \psi )}^{\ast }(f)=f\circ (\phi \circ \psi )=(f\circ \phi )\circ \psi ={\phi }^{\ast }(f)\circ \psi ={\psi }^{\ast }({\phi }^{\ast }(f)).$

2. Dies folgt direkt aus  $f\circ {\mathrm{Id}}_V=f$. 
3. Es sei  $f\in V^{\ast }$  und

   ${\psi }^{\ast }(f)=0.$

   Wegen der Surjektivität von $\psi$ gibt es für jedes  $v\in V$  ein  $u\in U$  mit  $\psi (u)=v$.  Daher ist

   $f(v)=f(\psi (u))=({\psi }^{\ast }(f))(u)=0$

   und $f$ ist selbst die Nullabbildung. Nach Fakt ist ${\psi }^{\ast }$ injektiv.

4. Die Voraussetzung bedeutet, dass man  $U\subseteq V$  als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Fakt

   $V=U\oplus U^{\prime }$

   mit einem weiteren $K$-Untervektorraum  $U^{\prime }\subseteq V$  schreiben. Eine Linearform

   $g:U⟶K$

   lässt sich zu einer Linearform

   $\tilde{g}:V⟶K$

   fortsetzen, indem man beispielsweise $\tilde{g}$ auf $U^{\prime }$ als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.

$◻$