Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die duale Abbildung zu .

Diese Zuordnung beruht also einfach darauf, dass man die Hintereinanderschaltung

betrachtet. Die duale Abbildung ist ein Spezialfall von der in Fakt  (1) beschriebenen Situation. Insbesondere ist die duale Abbildung wieder linear.



Lemma  

Es seien Vektorräume über einem Körper und es seien

und

lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für die duale Abbildung gilt
  2. Für die Identität auf ist
  3. Wenn surjektiv ist, so ist injektiv.
  4. Wenn injektiv ist, so ist surjektiv.

Beweis  

(1). Für ist

(2) folgt direkt aus .

(3). Sei und

Wegen der Surjektivität von gibt es für jedes ein mit . Daher ist

und ist selbst die Nullabbildung. Nach Fakt ist injektiv.

(4). Die Voraussetzung bedeutet, dass man als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Fakt

mit einem weiteren -Untervektorraum schreiben. Eine Linearform

lässt sich zu einer Linearform

fortsetzen, indem man beispielsweise auf als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.