Lineare Abbildungen/K/Nur Zahlenraum/Einführung/Textabschnitt

Eine lineare Funktion über einem Körper ${}K$ ist einfach eine Abbildung der Form

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

mit einer Konstanten ${}c$ (einem Proportionalitätsfaktor), die bei einem angeordneten Körper den Anstieg des Graphen beschreibt. Ein einzelnes Element ${}c$ kann man als eine ${}1\times 1$-Matrix auffassen. Wir dehnen das lineare Konzept auf Abbildungen zwischen Standardräumen aus und wir werden sehen, dass diese durch Matrizen beschrieben werden können.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in K^{n}$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in K^{n}$.

Beispiel

Es stehen ${}n$ verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das ${}i$-te Produkt (pro Einheit) ${}a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das ${}n$-Tupel

$\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$

repräsentiert, wobei ${}x_{i}$ die vom ${}i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung

$\varphi \colon \mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.$

ist linear. Dies beruht auf

${}\varphi (x+y)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}+y_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}=\varphi (x)+\varphi (y)\,$

und

${}\varphi (sx)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}sx_{i}=s\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=s\varphi (x)\,.$

Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf ${}\left(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$, dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag ${}\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)$ gekauft hätte.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K^{n}$ der ${}n$-dimensionale Standardraum. Dann ist die ${}i$-te Projektion, also die Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$

eine ${}K$-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die ${}i$-te Projektion heißt auch die ${}i$-te Koordinatenfunktion.

Die beiden folgenden Beispiele entstammen der elementaren Geometrie.

Eine Achsenspiegelung an einer Achse.

Beispiel

Die Abbildung

$K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (-x,y),$

ist linear und beschreibt die Achsenspiegelung an der ${}y$-Achse.

Beispiel

Die Abbildung

$K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (-x,-y),$

ist linear und beschreibt die Punktspiegelung am Nullpunkt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\varphi (0)=0$.
2. Für jede Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ in ${}K^{n}$ gilt

   ${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}\psi \colon K^{p}\rightarrow K^{n}$ und ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Hintereinanderschaltung

   $\varphi \circ \psi \colon K^{p}\longrightarrow K^{m}$

   ist ebenfalls linear.

2. Wenn ${}\varphi$ bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung

   $\varphi ^{-1}\colon K^{m}\longrightarrow K^{n}$

   linear.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Nach Fakt wird unter einer linearen Abbildung die ${}0$ auf die ${}0$ abgebildet. Die Menge aller Vektoren, die unter einer linearen Abbildung auf ${}0$ abgebildet werden, ist für die Abbildung charakteristisch und bekommt einen eigenen Namen.

Definition

Zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,$

der Kern von ${}\varphi$.

Der Kern ist einfach das Urbild des Nullvektors und wird auch mit ${}\varphi ^{-1}(0)$ bezeichnet. Er ist ein Untervektorraum des ${}K^{n}$, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben ${}0\in K^{n}$ keinen anderen Vektor ${}v\in V$ mit ${}\varphi (v)=0$ geben. Also ist ${}\varphi ^{-1}(0)=0$.
Es sei umgekehrt ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien ${}v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit ${}\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität

${}\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$

Daher ist ${}v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit ${}v_{1}=v_{2}$.

$\Box$

So, wie eine lineare Funktion ${}\varphi \colon K\rightarrow K$ durch den Wert an einer einzigen Stelle ${}\neq 0$ festgelegt ist, was die Grundlage für Dreisatzaufgaben ist, sind lineare Abbildungen ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ durch die Werte auf einer Basis des ${}K^{n}$ festgelegt. Der folgende Satz beweist dies für die Standardbasis, siehe Aufgabe für den allgemeinen Fall. Für entsprechende „Mehrsatzaufgaben“ siehe u. A. Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Es seien ${}w_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, Elemente in ${}K^{m}$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

mit

$\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$

wobei ${}e_{i}$ den ${}i$-ten Standardvektor bezeichnet.

Beweis

Da ${}\varphi (e_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in K^{n}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m},$

indem wir jeden Vektor ${}v\in K^{n}$ mit der gegebenen Standardbasis als

${}v=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\,$

schreiben und

${}\varphi (v):=\sum _{i=1}^{n}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}$ und ${}v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(u+v\right)}&=\varphi {\left({\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(s_{i}+t_{i})\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi (e_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.

$\Box$