Lineare Abbildungen/K/Nur Zahlenraum/Einführung/Textabschnitt

Eine lineare Funktion über einem Körper $K$ ist einfach eine Abbildung der Form

$K⟶K,x⟼cx,$

mit einer Konstanten $c$ (einem Proportionalitätsfaktor), die bei einem angeordneten Körper den Anstieg des Graphen beschreibt. Ein einzelnes Element $c$ kann man als eine $1\times 1$-Matrix auffassen. Wir dehnen das lineare Konzept auf Abbildungen zwischen Standardräumen aus und wir werden sehen, dass diese durch Matrizen beschrieben werden können.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und  $m,n\in \mathbb{N}$.  Eine Abbildung

$\phi :K^n⟶K^m$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1.  $\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$  für alle  $u,v\in K^n$. 
2.  $\phi (sv)=s\phi (v)$  für alle $s\in K$ und $v\in K^n$.

Beispiel

Es stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das $i$-te Produkt (pro Einheit) $a_i$ kostet. Ein Einkauf wird durch das $n$-Tupel

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

repräsentiert, wobei $x_i$ die vom $i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch $\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i$ beschrieben. Die Preisabbildung

$\phi :{\mathbb{Q}}^n⟶\mathbb{Q},(x_1,x_2,\dots ,x_n)⟼\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i.$

ist linear. Dies beruht auf

$\phi (x+y)=\sum _{i=1}^n{a}_i(x_i+y_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n{a}_i{y}_i=\phi (x)+\phi (y)$

und

$\phi (sx)=\sum _{i=1}^n{a}_{i}s{x}_i=s\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i=s\phi (x).$

Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass, wenn man zuerst den Einkauf $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf $(y_1,y_2,\dots ,y_n)$, dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag $(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n)$ gekauft hätte.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und sei $K^n$ der $n$-dimensionale Standardraum. Dann ist die $i$-te Projektion, also die Abbildung

$K^n⟶K,(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\dots ,x_n)⟼x_i,$

eine $K$-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te Koordinatenfunktion.

Die beiden folgenden Beispiele entstammen der elementaren Geometrie.

Eine Achsenspiegelung an einer Achse.

Beispiel

Die Abbildung

$K^2⟶K^2,(x,y)⟼(-x,y),$

ist linear und beschreibt die Achsenspiegelung an der $y$-Achse.

Beispiel

Die Abbildung

$K^2⟶K^2,(x,y)⟼(-x,-y),$

ist linear und beschreibt die Punktspiegelung am Nullpunkt.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $\phi :K^n\to K^m$ eine lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist  $\phi (0)=0$. 
2. Für jede Linearkombination $\sum _{i=1}^k{s}_i{v}_i$ in $K^n$ gilt

   $\phi \left(\sum _{i=1}^k{s}_i{v}_i\right)=\sum _{i=1}^k{s}_i\phi \left(v_i\right).$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $\psi :K^p\to K^n$ und $\phi :K^n\to K^m$ lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Hintereinanderschaltung

   $\phi \circ \psi :K^p⟶K^m$

   ist ebenfalls linear.

2. Wenn $\phi$ bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung

   ${\phi }^{-1}:K^m⟶K^n$

   linear.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Nach Fakt wird unter einer linearen Abbildung die $0$ auf die $0$ abgebildet. Die Menge aller Vektoren, die unter einer linearen Abbildung auf $0$ abgebildet werden, ist für die Abbildung charakteristisch und bekommt einen eigenen Namen.

Definition

Zu einer linearen Abbildung $\phi :K^n\to K^m$ heißt

$\mathrm{kern}\phi =\{x\in K^n\mid \phi (x)=0\}$

der Kern von $\phi$.

Der Kern ist einfach das Urbild des Nullvektors und wird auch mit ${\phi }^{-1}(0)$ bezeichnet. Er ist ein Untervektorraum des $K^n$, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei

$\phi :K^n⟶K^m$

eine lineare Abbildung.

Dann ist $\phi$ genau dann injektiv, wenn  $\mathrm{kern}\phi =0$  ist.

Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben  $0\in K^n$  keinen anderen Vektor  $v\in K^n$  mit  $\phi (v)=0$  geben. Also ist  ${\phi }^{-1}(0)=0$. 
Es sei umgekehrt  $\mathrm{kern}\phi =0$  und seien  $v_1,v_2\in K^n$  gegeben mit  $\phi \left(v_1\right)=\phi \left(v_2\right)$.  Dann ist wegen der Linearität

$\phi (v_1-v_2)=\phi \left(v_1\right)-\phi \left(v_2\right)=0.$

Daher ist  $v_1-v_2\in \mathrm{kern}\phi$  und damit  $v_1=v_2$. 

$◻$

So, wie eine lineare Funktion $\phi :K\to K$ durch den Wert an einer einzigen Stelle $\ne 0$ festgelegt ist, was die Grundlage für Dreisatzaufgaben ist, sind lineare Abbildungen $\phi :K^n\to K^m$ durch die Werte auf einer Basis des $K^n$ festgelegt. Der folgende Satz beweist dies für die Standardbasis, siehe Aufgabe für den allgemeinen Fall. Für entsprechende „Mehrsatzaufgaben“ siehe u. A. Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und  $m,n\in \mathbb{N}$.  Es seien $w_i$, $i=1,\dots ,n$, Elemente in $K^m$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$\phi :K^n⟶K^m$

mit

$\phi (e_i)=w_i\text{ für alle }i=1,\dots ,n,$

wobei $e_i$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.

Beweis

Da  $\phi (e_i)=w_i$  sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

$\phi \left(\sum _{i=1}^n{s}_i{e}_i\right)=\sum _{i=1}^n{s}_i\phi \left(e_i\right)$

erfüllt, und jeder Vektor  $v\in K^n$  sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$\phi :K^n⟶K^m,$

indem wir jeden Vektor  $v\in K^n$  mit der gegebenen Standardbasis als

$v=\sum _{i=1}^n{s}_i{e}_i$

schreiben und

$\phi (v):=\sum _{i=1}^n{s}_i{w}_i$

ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i=1}^n{s}_i{e}_i$ und $v=\sum _{i=1}^n{t}_i{e}_i$ gilt

$\begin{array}{cc}\phi (u+v)& =\phi (\left(\sum _{i=1}^n{s}_i{e}_i\right)+\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{e}_i\right))\\ & =\phi \left(\sum _{i=1}^n(s_i+t_i)e_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^n(s_i+t_i)\phi \left(e_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^n{s}_i\phi \left(e_i\right)+\sum _{i=1}^n{t}_i\phi (e_i)\\ & =\phi \left(\sum _{i=1}^n{s}_i{e}_i\right)+\phi \left(\sum _{i=1}^n{t}_i{e}_i\right)\\ & =\phi (u)+\phi (v).\end{array}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.

$◻$