Lineare Abbildungen/K/Nur Zahlenraum/Einführung/Textabschnitt

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Eine lineare Funktion über einem Körper ist einfach eine Abbildung der Form

mit einer Konstanten (einem Proportionalitätsfaktor), die bei einem angeordneten Körper den Anstieg des Graphen beschreibt. Ein einzelnes Element kann man als eine -Matrix auffassen. Wir dehnen das lineare Konzept auf Abbildungen zwischen Standardräumen aus und wir werden sehen, dass diese durch Matrizen beschrieben werden können.


Definition  

Es sei ein Körper und . Eine Abbildung

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. für alle .
  2. für alle und .


Beispiel  

Es stehen verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das -te Produkt (pro Einheit) kostet. Ein Einkauf wird durch das -Tupel

repräsentiert, wobei die vom -ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch beschrieben. Die Preisabbildung

ist linear. Dies beruht auf

und

Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf tätigt und eine Woche später den Einkauf , dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag gekauft hätte.



Beispiel  

Es sei ein Körper und sei der -dimensionale Standardraum. Dann ist die -te Projektion, also die Abbildung

eine -lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die -te Projektion heißt auch die -te Koordinatenfunktion.


Die beiden folgenden Beispiele entstammen der elementaren Geometrie.

Eine Achsenspiegelung an einer Achse.


Beispiel  

Die Abbildung

ist linear und beschreibt die Achsenspiegelung an der -Achse.



Beispiel  

Die Abbildung

ist linear und beschreibt die Punktspiegelung am Nullpunkt.




Lemma

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt

Beweis

Siehe Aufgabe.



Lemma

Es sei ein Körper und seien und lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Hintereinanderschaltung

    ist ebenfalls linear.

  2. Wenn bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung

    linear.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Nach Fakt wird unter einer linearen Abbildung die auf die abgebildet. Die Menge aller Vektoren, die unter einer linearen Abbildung auf abgebildet werden, ist für die Abbildung charakteristisch und bekommt einen eigenen Namen.


Definition  

Zu einer linearen Abbildung heißt

der Kern von .

Der Kern ist einfach das Urbild des Nullvektors und wird auch mit bezeichnet. Er ist ein Untervektorraum des , siehe Aufgabe.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann injektiv, wenn ist.

Beweis  

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen anderen Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


So, wie eine lineare Funktion durch den Wert an einer einzigen Stelle festgelegt ist, was die Grundlage für Dreisatzaufgaben ist, sind lineare Abbildungen durch die Werte auf einer Basis des festgelegt. Der folgende Satz beweist dies für die Standardbasis, siehe Aufgabe für den allgemeinen Fall. Für entsprechende „Mehrsatzaufgaben“ siehe u. A. Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.



Satz  

Es sei ein Körper und . Es seien , , Elemente in .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

mit

wobei den -ten Standardvektor bezeichnet.

Beweis  

Da sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

erfüllt, und jeder Vektor sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Standardbasis als

schreiben und

ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren und gilt


Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.