Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $p \geq 1$ eine reelle Zahl und $(X, 𝒜, μ)$ ein Maßraum. Eine messbare Funktion

f : X ⟶ 𝕂

heißt $p$ -integrierbar, wenn $\int_{X} | f |^{p} d μ$ endlich ist.

Der Menge aller $p$ -integrierbaren Funktionen wird mit

ℒ^{p} (X) = ℒ^{p} (X, 𝒜, μ)

bezeichnet, es handelt sich um einen $𝕂$ -Vektorraum.

Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $ℕ$ als Maßraum mit dem Zählmaß. Die Funktionen

f : ℕ ⟶ 𝕂

sind einfach die $𝕂$ -wertigen Folgen, diese sind automatisch messbar. Die $p$ -Integierbarkeit ist in diesem Fall einfach die $p$ -Summierbarkeit, es geht also um diejenigen Folgen $f$ , für die

‖ f ‖_{p} = \sum_{n \in ℕ} | f_{n} |^{p} < \infty

gilt. Die $f_{n}$ sind von daher eher als Reihenglieder denn als Folgenglieder anzusehen. Für $p = 1$ handelt es sich um die absolute Konvergenz der Reihe bzw. schlicht um die Summierbarkeit, für $p = 2$ spricht man von quadratsummierbaren Folgen. Die harmonische Reihe ist nicht summierbar, aber $2$ -summierbar und sogar $p$ -summierbar für jedes $p > 1$ .

Lemma

Es sei $p \geq 1$ eine reelle Zahl und $(X, 𝒜, μ)$ ein Maßraum.

Dann ist die Menge $ℒ^{p} (X)$ der $p$ -integrierbaren Funktionen ein $ℂ$ -Vektorraum.

Beweis

Siehe Aufgabe.

◻

Definition

Es sei $p \geq 1$ eine reelle Zahl und $(X, 𝒜, μ)$ ein Maßraum. Zu einer $p$ -integrierbaren Funktion nennt man

‖ f ‖_{p} := {(\int_{X} | f |^{p} d μ)}^{1 / p}

die $p$ -Norm von $f$ .

Bemerkung

Häufig möchte man auch für $p = \infty$ zu Fakt entsprechende Funktionenräume mit einer entsprechenden Halbnorm zur Verfügung haben. Zu einer messbaren Funktion $f : X \to ℝ$ auf einem Maßraum $(X, 𝒜, μ)$ setzt man

‖ f ‖_{\infty} := inf (b, μ (f^{- 1} (ℝ_{> b})) = 0) .

Diese Zahl (die eventuell $\infty$ sein kann) nennt man auch das wesentliche Supremum von $f$ . Die entscheidende Eigenschaft ist, dass $f$ zwar auch Werte oberhalb dieses wesentlichen Supremums annehmen kann, aber nur auf einer Nullmenge. Man nennt $f$ wesentlich beschränkt, wenn ihr wesentliches Supremum eine reelle Zahl ist. Mit $ℒ^{\infty}$ bezeichnet man den Vektorraum der wesentlich beschränkten Funktionen auf $X$ , auf diesem ist $‖ - ‖$ eine Halbnorm.

Lemma

Es sei $(X, 𝒜, μ)$ ein Maßraum. Dann sind für eine messbare Funktion $f : X \to 𝕂$ folgende Aussagen äquivalent.

Es ist $f = 0$ fast überall.

Es gibt ein $p \geq 1$ mit
$\int_{X} | f |^{p} d μ = 0 .$

Für alle $p \geq 1$ ist
$\int_{X} | f |^{p} d μ = 0 .$

Beweis

Siehe Aufgabe.

◻

Wir werden zeigen, dass die $p$ -Norm eine Halbnorm auf $ℒ^{p}$ ist und daher nach Fakt auf einem geeigneten Restklassenraum eine Norm ist. Die folgende Aussage heißt Höldersche Abschätzung oder Höldersche Ungleichung.

Lemma

Es seien $p, q \geq 1$ reelle Zahlen mit

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

und es sei $(X, 𝒜, μ)$ ein Maßraum. Es seien

f, g : X ⟶ ℝ_{\geq 0}

messbare Funktionen, die $p$ - bzw. $q$ -integrierbar seien.

Dann gilt

$\int_{X} f g d μ = ‖ f g ‖_{1} \leq ‖ f ‖_{p} \cdot ‖ g ‖_{q} .$

Beweis

Bei $‖ f ‖_{p} = 0$ ist die Aussage nach Fakt klar, wir können also von $‖ f ‖_{p}, ‖ g ‖_{p} > 0$ ausgehen. Zu $x \in X$ wenden wir auf $A = \frac{| f (x) |}{‖ f ‖_{p}}$ und $B = \frac{| g (x) |}{‖ g ‖_{q}}$ die Abschätzung

A B \leq \frac{A^{p}}{p} + \frac{B^{q}}{q}

(siehe Aufgabe) an und erhalten

\begin{matrix} \frac{1}{‖ f ‖_{p} \cdot ‖ g ‖_{q}} \int_{X} | f g | d μ & = \int_{X} \frac{| f |}{‖ f ‖_{p}} \cdot \frac{| g |}{‖ g ‖_{q}} d μ \\ \leq \int_{X} \frac{| f |^{p}}{p ‖ f ‖_{p}^{p}} + \frac{| g |^{q}}{q ‖ g ‖_{q}^{q}} d μ \\ = \frac{1}{p ‖ f ‖_{p}^{p}} \int_{X} | f |^{p} d μ + \frac{1}{q ‖ g ‖_{q}^{q}} \int_{X} | g |^{q} d μ \\ = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \\ = 1. \end{matrix}

Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.

◻

Lemma

Es sei $p \geq 1$ eine reelle Zahl und es sei $(X, 𝒜, μ)$ ein Maßraum. Es seien

f, g : X ⟶ ℝ

$p$ -integrierbare Funktionen.

Dann gilt

$‖ f + g ‖_{p} \leq ‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p} .$

Beweis

Es sei $1 < p < \infty$ , für die anderen Fälle siehe die Aufgaben. Wegen

‖ f + g ‖_{p} \leq ‖ | f | + | g | ‖_{p}

können wir $f$ und $g$ als reellwertig und nichtnegativ annehmen. Es sei $q$ die durch die Bedingung

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

bestimmte Zahl, also

q = \frac{p}{p - 1} .

Mit Fakt folgt

\begin{matrix} ‖ f + g ‖_{p}^{p} & = \int_{X} {(f + g)}^{p} d μ \\ = \int_{X} f {(f + g)}^{p - 1} + g {(f + g)}^{p - 1} d μ \\ = ‖ f {(f + g)}^{p - 1} ‖_{1} + ‖ g {(f + g)}^{p - 1} ‖_{1} \\ \leq ‖ f ‖_{p} \cdot ‖ {(f + g)}^{p - 1} ‖_{q} + ‖ g ‖_{p} \cdot ‖ {(f + g)}^{p - 1} ‖_{q} \\ \leq (‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p}) ‖ {(f + g)}^{p - 1} ‖_{q} \\ = (‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p}) {(\int_{X} {(f + g)}^{(p - 1) q} d μ)}^{1 / q} \\ = (‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p}) {(\int_{X} {(f + g)}^{p} d μ)}^{(p - 1) / p} \\ = (‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p}) ‖ f + g ‖_{p}^{p - 1} . \end{matrix}

Wir können nun mit $‖ f + g ‖_{p}^{p - 1}$ kürzen (wenn diese Zahl gleich $0$ ist, stimmt die Aussage sowieso).

◻

Lemma

Es sei $(X, 𝒜, μ)$ ein Maßraum und $p \geq 1$ .

Dann ist $‖ - ‖_{p}$ auf dem $𝕂$ -Vektorraum $ℒ^{p} (X)$ der $p$ -integrierbaren Funktionen eine Halbnorm.

Beweis

Die Dreiecksabschätzung ist Fakt, die anderen Eigenschaften sind klar.

◻