Meromorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$. Es sei ${}P\in U$. Man nennt die Laurent-Entwicklung der auf einer offenen Kreisscheibenumgebung ${}U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\subseteq U$ definierten holomorphen Funktion ${}f$ in ${}P$ die Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}P$.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$ und ${}P\in U$.

Dann besitzt die Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}P$ die Form ${}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit einem ${}k\in \mathbb {Z}$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

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Dieser Sachverhalt ermöglicht die folgende Definition.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$. Es sei ${}P\in U$ und sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}P$. Dann nennt man das minimale ${}k$ mit ${}c_{k}\neq 0$ die Ordnung von ${}f$ in ${}P$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ bezeichnet.

Bemerkung  

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$ und ${}P\in U$ ein Punkt. Die Ordnung von ${}f$ in ${}P$ ist eine ganze Zahl, man spricht auch von der Nullstellenordnung, wobei diese Bezeichnung insbesondere bei positiver Ordnung verwendet wird. Die Ordnung ist ${}\geq 0$ genau dann, wenn ${}f$ holomorph in ${}P$ ist. Anderfalls ist die Ordnung negativ und es liegt ein Pol vor. In diesem Fall nennt man das Negative der (negativen) Ordnung die Polordnung von ${}f$ in ${}P$, diese ist also positiv. Wenn man von einem Pol der Ordnung ${}5$ spricht, so meint man, dass ein Pol der Polordnung ${}5$ vorliegt, die Ordnung ist also ${}-5$.

Beispiel

Der Tangens

${}\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}\,$

ist nach Fakt eine meromorphe Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$. Die Nullstellen des Kosinus sind ${}{\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$, da der Sinus in diesen Punkten keine Nullstelle besitzt, hat der Tangens in diesen Punkten einen Pol. Da die Nullstellenordnung des Kosinus in den Nullstellen gleich ${}1$ ist, ist die Polstellenordnung des Tangens gleich ${}1$, der Tangens besitzt also in diesen Punkten die Ordnung ${}-1$. In den Punkten ${}\mathbb {Z} \pi$, den Nullstellen des Sinus, besitzt der Tangens die Ordnung ${}1$, in allen weiteren Punkten die Ordnung ${}0$.

Die Konzepte Hauptteil und Nebenteil einer Laurent-Reihe sind insbesondere für meromorphe Funktionen relevant.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf ${}U$ mit der Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}(z-P)^{n}=\sum _{n=k}^{-1}c_{n}(z-P)^{n}$ den Hauptteil der Funktion in ${}P$.

Der Hauptteil einer meromorphen Funktion in einem Punkt ${}P$ ist insbesondere ein Laurent-Polynom.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf ${}U$ mit der Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}(z-P)^{n}$ den Nebenteil der Funktion in ${}P$.