Das reelle Bild der Neilschen Parabel
Wir betrachten die Nullstellenmenge
-

die bei
eine isolierte Singularität im Nullpunkt besitzt. Wenn
und
teilerfremd sind, so ist das Polynom
-
![{\displaystyle {}Z^{a}-W^{b}\in \mathbb {C} [Z,W]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772c4564772a38f62c75bc95ca5ed3d4c96213b9)
irreduzibel und damit ist auch
irreduzibel. Diese Eigenschaft werden wir im Folgenden voraussetzen, das einfachste singuläre Beispiel ist die Neilsche Parabel. Eine andere wichtige Beschreibung von
ergibt sich als Bild der polynomialen Abbildung
-
Jeder Bildpunkt
erfüllt offenbar die beschreibende Gleichung. Bei vorausgesetzter Teilerfremdheit der Exponenten kann man einfach zeigen, dass die Abbildung
sogar bijektiv ist. Es gibt also eine polynomiale Bijektion
,
wobei
glatt und
singulär ist. Von daher könnte man meinen, dass die Singularität von
topologisch keine besondere Relevanz haben sollte. In der Tat liegt ein Homöomorphismus zwischen
und
vor. Wir werden aber zeigen, dass die Singularität sehr wohl eine topologische Relevanz besitzt, und zwar in der Art, wie sie im umgebenden Raum
-

eingebettet ist. Ein erster wichtiger Hinweis in diese Richtung ergibt sich, wenn man die Abbildung
mit der Standarddurchlauf des Einheitskreises verknüpft. Dieser ist durch
-
gegeben. Verknüpft mit
erhält man die Abbildung
-
Da eine Homöomorphie vorliegt, ist dieser Weg ein Erzeuger der Fundamentalgruppe von
, ebenso wie
der Standarddurchlauf des Einheitskreises ein Erzeuger der Fundamentalgruppe von
ist. Ein Unterschied besteht aber in der Verschlingung dieses Weges im
.
Wir Identifizieren den
mit dem
und schreiben
und
.
Im
arbeiten wir also mit den reellen Koordinaten
. Eine komplexe Zahl ist genau dann
, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginäreteil
ist. Die definierende Gleichung
-

für ein komplexes Zahlenpaar
bedeutet daher ins Reelle übersetzt, wegen

(und entsprechend für
),
dass die beiden reellen Geichungen
-

und
-

simultan erfüllt sein müsssen. Für die Neilsche Parabel bedeutet das, dass die beiden Gleichungen
-

und
-

erfüllt sein müssen.
Auf
wirkt die multiplikative Gruppe
durch die
Operation
-
Diese Gruppenwirkung hängt mit der
-Graduierung
des Restklassenringes
durch
und
zusammen. Wir schränken die Operation auf positive reelle Zahlen ein. Diese Operation setzt sich auf dem gesamten
fort, durch
-

Die Bahnen dieser Operation zu einem Punkt
sind selbst wieder reelle mit Koeffizienten versehene monomiale Kurven im Vierdimensionalen. Für
streben diese Bahnen gegen den Nullpunkt und für
gegen Unendlich. Diese Bahnen sollte man in Analogie zu den Strahlen
(Halbgeraden)
im
sehen, die vom Nullpunkt ausgehen. Jedes Strahl durchstößt die Sphäre in genau einem Punkt. Eine entsprechende Aussage gilt auch für die gegenwärtigen Bahnen.
Es sei
-

die reell dreidimensionale Sphäre im reell vierdimensionalen Raum. Wir betrachten den Durchschnitt
-

Da
reell zweidimensional ist, erwartet man
(reelle Kodimensionen zählen)
einen reell eindimensionalen Schnitt.
steht hier für Link, auf Deutsch Umgebungsrand. Es ist generell ein wichtiges topologisches Hilfsmittel, zu einer affin-algebraischen Varietät
-

mit einer Singularität im Nullpunkt den Durchschnitt mit der reell
-dimensionalen Sphäre zu betrachten, also
.
Dabei ist für geeignete Sphärenradien der Durchschnitt
eine reelle Mannigfaltigkeit, deren Dimension um
kleiner als die reelle Dimension von
ist.
In unserer Situation liegt insgesamt das kommutative Diagramm
-
von Homöomorphismen vor. Dabei steht oben die Polarkoordinantenabbildung, rechts steht
mit der Umkehrabbildung
, wobei
gelte
(siehe
Fakt),
und unten
, was wir gleich als bijektiv nachweisen werden.
Es sei
-

mit
teilerfremd.
Es sei
.
Dann ist die Abbildung
-
eine
Homöomorphie.
Die Verknüpfung von
-
mit
und der Projektion auf
ergibt eine Homöomorphie zwischen
und
.
Die Abbildung
ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von
verschiedenen Punkt
-

zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn
,
durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkten schneidet. Die Schnittbedingung ist
-

Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl
als auch
von
verschieden und daher sind
und
positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form
-

vor. Die Gleichung
-

beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von
-

und
-

gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in
.
(dies sieht man auch, wenn man
nach
ableitet und das aymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet).
Das legt über
etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest.
Die Norm von
ist wegen
-

gleich
. Es sei
die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit
-

Die beschriebene Hintereinanderschaltung ist dann
-

Wir betrachten nun das Paar bestehend aus der Sphäre
und
, das homöomorph zu
ist.
Wenn man aus
einen Punkt herausnimmt, der nicht auf dem eingebetteten
liegt, so erhält man eine
-Sphäre im
. Ein solches Gebilde nennt man einen Knoten.
Links ein Schnürsenkelknoten, rechts ein mathematischer Knoten. Durch die Verbindung der Schnürsenkelenden merkt man sich die eigentliche Verknotung besser.
Unter einem
Knoten
versteht man eine topologische Einbettung der
-Sphäre
in den Raum
Manchmal beschränkt man sich auf stetig differenzierbar eingebettete Kreise.
Die Bildknoten
beschreiben dabei eine stetige Deformation des ersten Knoten in den zweiten Knoten mit dem Zeitparameter
.
Ein trivialer Knoten, der ziemlich, aber nicht völlig trivial aussieht.
Ein
Knoten
, der zum Knoten
-

äquivalent
ist, heißt
trivial.
Streng genommen meint man die Standardeinbettung dieses Knotens, also di Abbildung
-
doch ist jeder andere Durchlauf dazu äquivalent.
Zur Orientierung der im Folgenden zu besprechenden Knoten ist der Begriff des Torus und des Torusknotens hilfreich.
Der Torus ist in natürlicher Weise eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des
. Ein Torus lässt sich aber auch einfach als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des
realisieren, beispielsweise, indem man einen Kreis um eine Gerade außerhalb des Kreises rotieren lässt. Ein Torus ist somit einfach ein Fahrradschlauch.
Ein
Knoten,
der auf einem
Torus
liegt, heißt
Torusknoten.
Wir arbeiten nun mit Polarkoordinaten für die beiden
, und zwar sei
-

und
-

Auf
sind beiden Koordinaten nicht
, und daher kann man mit diesen Koordinaten alles erfassen. In diesen Koordinaten ist
-

In der Polarkoordinatenbeschreibung wird
durch
-
beschrieben. Dabei ist die zweite Gleichung
als Winkelgleichung, also modulo
zu verstehen. In dieser Darstellung erkennt man den positiven Quadranten der reellen monomialen Kurve, wenn man die Winkelgleichung vergisst. Die Lösungsmenge der Winkelgleichung, also
-
ist innerhalb von
der „Funktionsgraph“ zu
-

der allerdings aus verschiedenen parallelen Strecken besteht. Sie ist homöomorph zum
.
Wenn man auch auf der Normalisierung
der Kurve Polarkoordinaten
einführt, so ist die Normalisierungsabbildung durch
-
gegeben.
Der erzeugende Weg
der Fundamentalgruppe von
hat in beiden komplexen Koordinaten den Radius
und ist daher ein Weg auf dem
Torus
. Er dreht sich um den ersten Kreis
-fach und um den zweiten
-fach. Um einen Weg auf dem Link Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle {{}} L}
zu erreichen, muss man den Weg
-
mit
wie im Beweis zu
Fakt
nehmen. Dies ändert nichts daran, dass der Weg auf einem Torus verläuft
(wobei die beiden Kreise jetzt untershciedliche Radien haben)
und wie oft sich der Weg in den beiden Richtungen dreht.
Wenn man den
ohne einen Punkt
auf den
homöomorph abbildet
(etwa durch die
stereographische Projektion,)
und der Projektionspunkt
nicht auf diesem Torus und damit auch nicht auf
liegt, so wird der Torus homöomorph auf einen Torus im
abgebildet. Daraus ist ersichtlich, dass es sich bei
um einen Torusknoten handelt. Bei
und
ist dieser Knoten die sogenannte Kleeblattschlinge.
Bei
oder
ergibt sich ein Torusknoten, der einmal längs des einen Kreises und beliebig oft längs des anderen Kreises läuft. Das ist dann aber ein trivialer Knoten, man denke an die homöomorphe Projektion dieses Knoten auf die Ebene, die einen geschlängelten Kreis ergibt. Wir halten die folgende topologische Auswirkung einer Singularität fest: Die ebene monomiale Kurve ist genau dann regulär, wenn der zu ihr gehörende Link trivial ist.
Wir behandeln abschließend noch den Fall, wo die Exponenten der Variablen nicht teilerfremd sind. Der Link besteht dann aus mehreren eindimensionalen Sphären, die im
in einer bestimmten charakteristischen Weise miteinander verschlungen sind.
Es sei
-

mit
teilerfremd.
Dann gibt es eine Faktorzerlegung
-

wobei
eine
-te
primitive Einheitswurzel
ist. Die Komponenten
sind untereinander isomorph und schneiden sich paarweise im Nullpunkt.
Es gilt
-

Wenn man
und
einsetzt, so erhält man das Resultat. Es sei
eine
-te Wurzel von
. Dann ist
-
ein Isomorphismus. Ferner ist bei
-

die Nullstellenmenge davon ist allein der Nullpunkt.

Dies bedeutet insbesondere, dass der Durchschnitt
aus
disjunkten
bestehen.