Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität

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Einführung[Bearbeiten]

Wenn wir die -Regularität eines Elementes für eine multiplikativ lokalkonvexe topologische Algebra sprechen, suchen wir nach einer multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterungen von in der invertierbar ist. Dabei besteht

  • und

aus einem System von submultiplikativen Halbnormen, die die Topologie auf bzw. erzeugen.

Zielsetzung[Bearbeiten]

Zielsetzung einer multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung zu einer gegebenen topologischen Algebra mit ist es, die gegebene multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element in der multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterung besitzt. Als topologieerzeugende -Gaugefunktionale werden hier Halbnormensystem und verwendet.

Charakterisierung der MLC-Regularität[Bearbeiten]

Für kommutative multiplikativ lokalkonvexe Algebren mit unital positivem System von erhält man folgende Charakterisierung:

  • -singulär (multiplikativer topologischer Nullteiler)
  • -regulär für alle und ein mit für alle

Dabei sind submultiplikative Halbnormen.

Veranschaulichung[Bearbeiten]

Algebraerweiterung von ist hier eine mulitplikative lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element zu einem gegebenen enthält.

Algebraerweiterung


Aufgabe[Bearbeiten]

  • Negieren Sie die Aussage, dass kein topologischer Nullteiler ist und formulieren für ein submultiplikative Halbnormensystem .
  • Zeigen Sie, dass in einer -Algebra mit -regulär ist, wenn folgende Bedingung gilt (siehe Zelazko 1971[1])
.
  • Zeigen Sie mit der Charakterisierung der -Regularität, dass die -singulären Elemente genau die topologischen Nullteiler sind.

Multiplikative lokalkonvexe Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Sei die Klasse der multiplikativen lokalkonvexen unitalen Algebren und . Die Algebraerweiterung bzw. -Erweiterung von benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus mit:

  • , wobei ist das Einselement von und das Einselement von ist.
  • ist homöomorph zu ; d.h. und sind stetig.


Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen[Bearbeiten]

Der Algebraisomorphismus wird über normierte Quotientenalgebren definiert. wobei mit  : mit bezeichnet und

Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren[Bearbeiten]

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen.

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung[Bearbeiten]

  • Im allgemeinen identifiziert man mit und schreibt . In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus mit Elementen in einem Quotientenraum identifiziert werden.
  • Sei eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von auf und eine Nullumgebungsbasis von , dann kann man die Homöomorphie zwischen und wie immer über die Topologie ausdrücken:

Stetigkeit über Halbnormen[Bearbeiten]

Betrachtet man die Halbnormen und für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

Konstruktion Algebraisomorphismus[Bearbeiten]

Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:

  • (KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus und zeigt, dass dieser stetig ist.
  • (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist
  • (KA3) man definiert mit , die Umkehrabbildung und zeigt, dass ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Verwendung der Charakterisierung B-regulärer Elemente[Bearbeiten]

Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren und nutzen die Charakterisierung -Regularität für die -Erweiterung von .

Halbnormensystem unital positiv[Bearbeiten]

Ohne Einschränkung seien die submultiplikativen Halbnormen unital positiv, d.h. für alle . Falls das nicht der Fall ist, geht man zu einem äquivalenten Halbnormensystem über über. Weil Hausdorffraum ist, gibt es ein mit . Man definiert dann und

als Minkowski-Funktional von und , da und damit auch submultiplikativ sind. ist eine offene Menge in , da als Schnitt von zwei offenen Mengen definiert ist und der endliche Schnitt von offenen Mengen in einer Topologie ist wieder offen.

Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - unital positiv[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass die Halbnormensysteme und äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind!

Aufgabe - TNT-Negation und unital positives Halbnormensystem[Bearbeiten]

Ohne Einschränkung sei das gegebene Halbnormensystem auf einer unital positiven -Algebra . Ferner sei kein topologischer Nullteiler (). Zeigen Sie, dass für alle ebenfalls gilt.

Topologische Nullteiler in MLC-Algebren[Bearbeiten]

Wenn erfüllt ist, gibt es ein , sodass für alle gilt

Topologische Nullteiler in Quotientenalgebren[Bearbeiten]

Damit ist insbesondere für mit (d.h. für alle die folgende Bedingung erfüllt

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 1[Bearbeiten]

Man erhält die folgenden Abschätzung für , d.h. für alle und alle :

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 2[Bearbeiten]

Insgesamt erhält man für die äquivalente Bedingung:

Insbesondere gilt für alle

.

TNT-Eigenschaft in Quotientenalgebren[Bearbeiten]

Also gibt es mindestens ein , sodass für alle gilt:

.

MLC-Singularität 1[Bearbeiten]

Wenn man die -Singularität betrachtet, gibt es zu jedem ein mit , sodass und es gilt mit der Eigenschaft erhält man die Eigenschaft:

.

Negation der TNT-Eigenschaft[Bearbeiten]

Mit der Eigenschaft erhält man zunächst einmal die Abschätzung:

.

Vergleich zur Charakterisierung der MLC-Singularität[Bearbeiten]

Durch die Negation erhält man, dass es zu jedem ein , in dem also kein topologischer Nullteiler ist. Diese Negation liefert nach

.

Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - TNT[Bearbeiten]

Wir definieren darüber nun ein weiteres Halbnormensystem aus submultiplikativen Halbnormen wie folgt über die Eigenschaft von , kein topologischer Nullteiler zu sein:

  • , wenn und mit die obige Gleichung erfüllt. Zeigen Sie, dass und äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind

Notation - Produktraum[Bearbeiten]

Sei eine Indexmenge. In der folgenden Charakterisierung der -Regularität werden Produkträume definiert bzw. als Algebraerweiterung konstruiert. Dabei wird folgende Kurzschreibweise des Produktraumes verwendet.

Beweisidee: Konstruktion der MLC-Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Ausgehend von wird ein Produktraum von normierten Algebren betrachtet und topologisiert. Auf die normierten Algebren wird mit der Eigenschaft die gesuchte Eigenschaft geliefert und auf alle normierten Algebren angewendet, um eine Algebraerweiterung zu erhalten, in der invertierbar ist.

Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen[Bearbeiten]

Der Algebraisomorphismus wird dann mit

,

mit bezeichnet.

Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren[Bearbeiten]

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen.

Schritt 1: Übergang zu Quotientenräumen[Bearbeiten]

Man betrachtet für jede submultitplikative Halbnorm das Ideal

Dann definiert man als Quotientenraum .

Aufgabe: Idealeigenschaften nachweisen[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass ein Ideal in und eine Algebra.

Schritt 2: Topologisierung der Quotientenräume[Bearbeiten]

Man verwendet als Halbnorm auf dem Quotientenraum die mit

Aufgaben: Submultiplikative Halbnorm im Quotientenraum[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass eine submultiplikative Norm auf dem Quotientenraum ist und gilt.

Schritt 3: Inverse im Quotientenraum[Bearbeiten]

Für die normierten Algebren nutzt man die Charakterisierung der -Regularität und erhält Algebraerweiterungen in denen das inverse Element mit dem Algebraisomorphismus der Einbettung mit einem Inversen Element zu d.h.

Aufgabe: Positivität der Halbnorm für das inverse Element[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass und für alle erfüllt sind, wenn ist. Nutzen Sie dazu die Eigenschaft, dass das Halbnormensystem unital positiv ist und mit eine Isometrie vorliegt.

Aufgabe: Unitale Positivität der Halbnormen und inverse Elemente in Quotientenräumen[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass in einem unital positiven multipliklativen Halbnormensystem ein Element genau dann in -regulär ist, wenn es -regulär in jeder normierten Algebra für alle ist mit:

Schritt 4: Definition des Algebraisomorphismus[Bearbeiten]

Der Algebraisomorphismus setzt sich aus zwei verketteten Abbildungen zusammen mit :

  • mit
  • mit

Aufgabe: Surjektivität und Produktraum[Bearbeiten]

Zeigen Sie zunächst, dass und Algebraisomorphismen von Algebraerweiterungen sind!

Aufgabe: Surjektivität und Produktraum[Bearbeiten]

Ersetzt man den Wertebereich durch den Produktraum der Quotientenräume , so ist die modifizierte Abbildungen keine Algebraisomorphismen mehr. Begründen Sie, warum ist mit geändertem Wertebereich nicht mehr surjektiv ist, wenn mehr als einen Index enthält?

Schritt 5: Neutrales Element im Produktraum[Bearbeiten]

Das neutrale im Produktraum erhält man damit über mit:

.

Die Invertierbarkeit im Produktraum erhält man über

.

Bermerkung: Notation der Elemente in der Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Man muss bei der Notation in der Algebraerweiterung folgenden Notationen unterscheiden:

  • mit

In der zweiten Schreibweise gibt es in jeder Komponente des Produktraumes den gleichen Repräsentanten , während in der ersten Schreibweise für die Notation des Inversen die Repräsentanten für jedes unterschiedlich sein können.

Isometrische Abbildung[Bearbeiten]

Nach Konstruktion der Algebraerweiterung der normierten Algebra Algebraerweiterungen auf nach der Charakterisierung der -Regularität ist die Algebraerweiterung eine Isometrie, d.h. für alle gilt für alle :

Schritt 6: Topologisierung der Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Für alle definiert man mit und für setzt man

.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Algebraisomorphismus eine Isometrie ist, d.h.

Schritt 7: Inverses Element in der Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Das inverse Element von ist dann in mit einem inversen Element , das komponentenweise als definiert wird mit für alle .

Bemerkung: Vollständigkeit[Bearbeiten]

Die Vollständigkeit, die für die B-Regularität noch betrachtet wurde, spielt hier für die -Regularität keine Rolle, da nur das Vorgehen für Konstruktion einer Algebraerweiterung zu einer normierten Algebra benötigt wird.

Geschichte[Bearbeiten]

Der Beweis der Charakterisierung -Regularität wurde von Zelazko bereits 1971 gezeigt[1] als Charakterisierung der permant singulären Elemente von -Algebren.

Spezialfall der MPC-Regularität[Bearbeiten]

Der Nachweis der Charakterisierung der -Regularität ist ein Spezialfall der -Regularität für multplikative pseudokonvexe Räume, wobei die -Normen mit homogen sind und damit die Eigenschaften einer Norm erfüllt.

Algebraisomorphismen[Bearbeiten]

Bei der -Regularität wurde die Algebraerweiterung über die -Regularität, die Definition von isometrischen Algebraisomorphismen und der Betrachtung von Quotientenräume konstruktiert, in der ein invertierbar ist.

Direkte Konstruktion der Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Eine direkte Konstruktion der Algebraerweiterung über die topologische Eigenschaften von ist für -Regularität ebenfalls möglich. Dabei wird wieder die Polynomalgebra topologisiert und dann der Quotientenraum betrachtet, wobei dann das Hauptideal ist und ein Repräsentant des Nullvektors in der Algebraerweiterung ist. Der direkte Beweis wird bei der Charakterisierung der -Regularität geführt und kann mit auf -Regularität übertragen werden.

Quellennachweis[Bearbeiten]

  1. 1,0 1,1 Zelazko Wieslaw, On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 (1971), S. 181-190

Siehe auch[Bearbeiten]

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