Natürliche Zahlen/Zweitstufig/Induktion und Verknüpfung/Textabschnitt

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Die folgende Aussage ist das induktive Definitionsprinzip für Abbildungen.



Satz  

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und es sei eine Menge mit einem fixierten Element und einer Abbildung .

Dann gibt es genau eine Abbildung

die die beiden Eigenschaften

erfüllt.

Beweis  

Wir betrachten Teilmengen mit den Eigenschaften

  1. Für jedes  , , gibt es ein mit .
  2. Es gibt eine eindeutig bestimmte Abbildung

    mit und

    für alle mit .

Wir betrachten nun die Menge

Wir zeigen durch Induktion, dass ist. Für können wir

wählen, wobei durch die erste Abbildungseigenschaft eindeutig festgelegt ist. Sei nun vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es und eine Abbildung mit den angegebenen Eigenschaften gibt. Bei sind wir fertig, sei also . Wir setzen und wir definieren

Dies erfüllt die Eigenschaften und ist auch die einzige Möglichkeit, da die Einschränkung von auf wegen der Eindeutigkeit mit übereinstimmen muss. Also ist .

Wir zeigen nun durch Induktion über , dass unabhängig von der gewählten Menge ist. Bei ist dies klar, sei diese Aussage für ein gewisses schon bekannt, und sei mit zugehörigen Abbildungen . Aufgrund der zweiten Eigenschaft ist , daher ist nach Induktionsvoraussetzung

Damit erhält man durch

mit einem beliebigen eine wohldefinierte Abbildung auf ganz mit den in der Formulierung des Satzes geforderten Eigenschaften. Die Eindeutigkeit von ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Einschränkungen.




Satz  

Es seien und Dedekind-Peano-Modelle für die natürlichen Zahlen.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung

mit und

für alle .

Insbesondere sind je zwei Dedekind-Peano-Modelle isomorph.

Beweis  

Aufgrund von Fakt, angewendet auf und die Nachfolgerabbildung auf , gibt es genau eine Abbildung

mit den angegebenen Eigenschaften. Wenn man die Rollen vertauscht, so erhält man eine eindeutige Abbildung

mit den gleichen Eigenschaften. Wir betrachten nun die Verknüpfung

Diese erfüllt ebenfalls diese Eigenschaften. Da aber die Identität auf auch diese Eigenschaften erfüllt, folgt aus der Eindeutigkeitsaussage aus Fakt, dass ist. Ebenso ist und somit sind und invers zueinander.


Für das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Modell der Dedekind-Peano-Axiome verwenden wir das Symbol und sprechen von den natürlichen Zahlen.



Addition auf natürlichen Zahlen

Wir wollen die Addition auf den natürlichen Zahlen definieren, und zwar ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen. Die Addition mit soll dabei das Element wiedergeben - d.h. soll das neutrale Element der Addition sein - und die Addition eines Elementes mit soll der Nachfolger von sein. Die Grundidee ist dabei, die Summe dadurch zu definieren, dass man sukzessive den ersten Summanden um eins erhöht (also den Nachfolger nimmt) und den zweiten um eins vermindert (also den Vorgänger nimmt, falls ist). Man spricht vom Umlegungsprinzip (oder Umlegungsmodell) für die Addition. Um dies präzise durchzuführen verwenden wir das induktive Definitionsprinzip für Abbildungen. Wir wenden dieses Prinzip für die Nachfolgerabbildung und für eine natürliche Zahl als Startglied an. Die daraus gewonnene Abbildung beschreibt das Addieren mit dieser Zahl (es wird also die zweistellige Addition auf einstellige Operationen zurückgeführt).


Definition  

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und . Dann definieren wir die Addition mit als diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung

für die

gilt.

Damit definieren wir

und nennen das die Addition von natürlichen Zahlen. Man beachte, dass hier die Addition in einer Weise definiert wird, in der die Kommutativität keineswegs offensichtlich ist.



Lemma

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen.

Dann gibt es genau eine Verknüpfung

mit

Beweis

Siehe Aufgabe.




Lemma  

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition festgelegten Addition.

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. für alle , d.h. ist das neutrale Element für die Addition.

  2. für alle .

  3. Die Addition ist kommutativ.
  4. Die Addition ist assoziativ.
  5. Aus einer Gleichung folgt
    (Abziehregel).

Beweis  

(1). Die Gleichung links ergibt sich direkt aus der Definition, die rechte Gleichung, also , folgt aus einer einfachen Induktion nach .

(2). Die linke Gleichung folgt direkt aus der Definition, die rechte besagt . Wir beweisen sie für beliebiges durch Induktion über . Bei steht beidseitig . Sei die Aussage nun für schon bewiesen und betrachten wir . Dann ist

Für die anderen Aussagen siehe Aufgabe.




Multiplikation auf natürlichen Zahlen

Zur Definition der Multiplikation verwenden wir erneut das Prinzip der induktiven Definition. Zu einer natürlichen Zahl betrachten wir den Startwert und die durch die Addition mit definierte Abbildung .


Definition  

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und . Dann definieren wir die Multiplikation mit als diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung

für die

gilt.

Damit definieren wir die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen durch

Es gilt also und . Diese beiden Eigenschaften legen bereits die Multiplikationsverknüpfung eindeutig fest.


Lemma

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung

die

erfüllt.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Lemma

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition festgelegten Multiplikation.

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es gilt

    für alle ,

  2. Es gilt

    für alle , d.h. ist das neutrale Element für die Multiplikation.

  3. Es ist

    für alle .

  4. Die Multiplikation ist kommutativ.
  5. Die Multiplikation ist assoziativ.
  6. Aus einer Gleichung mit folgt (Kürzungsregel).
  7. Für beliebige gilt

    (Distributivgesetz).

Beweis

Siehe Aufgabe.