Normales Schema/Divisorenklassengruppe/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .

Für einen noetherschen normalen Integritätsbereich nennt man entsprechend die Divisorenklassengruppe des Rings . Im zahlentheoretischen Kontext, wenn der Ring der ganzen Zahlen in einer endlichen Erweiterung von ist, spricht man auch von der Idealklassengruppe. Divisoren, die die gleiche Divisorenklasse definieren, heißen linear äquivalent.



Satz  

Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne die Divisorenklassengruppe von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist faktoriell.
  2. Jedes Primideal der Höhe ist ein Hauptideal.
  3. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
  4. Es ist .

Beweis  

Sei (1) erfüllt und ein Primideal der Höhe . Es gibt ein Element , . Dieses hat eine Primfaktorzerlegung und aufgrund der Primeigenschaft muss für ein sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung . Sei nun jedes Primideal der Höhe Hauptideal. Dann gilt mit

die Divisorbeziehung

da in keinem anderen Primideal der Höhe enthalten ist und da auch in ein Erzeuger von ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklasengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal der Höhe ein , , mit

Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Fakt . Somit ist nur in als einzigem Primideal der Höhe enthalten. Sei . Dann ist

und somit ist , also und damit .

Sei schließlich (2) erfüllt, und , . Es seien die minimalen Primoberideale von . Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe . Sei mit Primelementen . Es ist

Das Element besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient eine Einheit und

mit einer Einheit . Daher ist faktoriell.



Beispiel  

Wir wollen die Weildivisoren und die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes über einem Körper verstehen (). Wir betrachten die disjunkte Zerlegung

d.h. wir fixieren die Hyperebene

im „Unendlichen“. Ein Primdivisor des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe im Polynomring aufgefasst werden. Jede Funktion des Funktionenkörpers lässt sich (bis auf Skalierung und kürzen) eindeutig als mit Polynomen schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu und kann man direkt

(mit einer Konstanten und ) schreiben und daraus den Hauptdivisor zu ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die („unendlich ferne“) Ordnung von an ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist

Man schreibt (bzw. oder ), indem man überall durch ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper in der einen Variablen . Der (typischerweise negative) Grad bezüglich ist die Ordnung.

Beispielsweise ist bei

und die Ordnung ist . Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor linear äquivalent zu einem Divisor der Form mit (die Klasse zu nennt man auch die Hyperebenenklasse.). Ein solcher Divisor ist aber bei kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung . Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also , als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen.