Operation der allgemeinen linearen Gruppe/Typische Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum. Die natürliche Operation der allgemeinen linearen Gruppe ${}G=\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt ${}0$ und ${}V\setminus \{0\}$ . Je zwei von ${}0$ verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten ${}g\in G$ ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.

Ein ${}g\in G$ transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt ${}v\in V$ (einen Vektor), sondern beliebige Teilmengen ${}T\subseteq V$ . Die Frage, ob zwei Teilmengen ${}T_{1},T_{2}\subseteq V$ mittels einem ${}g\in G$ ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert (die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein). Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ und betrachten Punkttupel

(P_{1},\ldots ,P_{n})\in V^{n},

die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in ${}V$ vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass ${}P_{i}=P_{j}$ ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch

\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V^{n}\longrightarrow V^{n},\,(g,v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\longmapsto (g(v_{1}),g(v_{2}),\ldots ,g(v_{n})),

gegeben.

Im einfachsten Fall, bei ${}V=K$ , geht es um die Operation der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ auf ${}K^{n}$ durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf ${}K^{n}\setminus \{0\}$ eingeschränkte Operation besitzt den ${}n-1$ -dimensionalen projektiven Raum als Quotienten.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}n$ -dimensionaler ${}K$ -Vektorraum. Es sei ${}r\in \mathbb {N}$ (man denke an $r\leq n$ ) und wir betrachten die Wirkungsweise von ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf dem ${}r$ -fachen Produkt von ${}V$ mit sich selbst, bei der ein ${}r$ -Tupel ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ von ${}r$ Vektoren aus ${}V$ auf ein anderes, durch die Matrix ${}g\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ bestimmtes ${}r$ -Tupel abgebildet wird. Mit ${}g={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}}$ interessieren wir uns also für die Abbildung

\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}\times V^{r}\longrightarrow V^{r},\,({\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})\longmapsto \left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i},\,\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i},\,\ldots ,\,\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right).

Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ erzeugte ${}K$ -Untervektorraum gleich dem vom Bildtupel ${}g(v_{1},\ldots ,v_{r})$ erzeugten Untervektorraum. Wenn die ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ linear unabhängig sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen ${}r$ -dimensionalen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ und zwei Basen von ${}U$ gibt es stets einen Automorphismus von ${}U$ , der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf die (offene und dichte) Teilmenge ${}T\subseteq V^{r}$ einschränkt, die aus allen linear unabhängigen ${}r$ -Tupeln besteht, so entsprechen die Bahnen der Operation den ${}r$ -dimensionalen Untervektorräumen von ${}V$ , und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz ${}V^{r}$ sind schwieriger zu charakterisieren.

Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum ${}W=V^{r}$ sind die Linearformen ${}f=(f_{1},\ldots ,f_{r})$ mit

{}f(v_{1},\ldots ,v_{r})=f_{1}(v_{1})+\cdots +f_{r}(v_{r})\,.

Dabei sind die ${}f_{i}$ Linearformen auf ${}V$ , die wir direkt als Linearformen auf ${}V^{r}$ über die ${}i$ -te Projektion auffassen. Zu ${}g\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ und ${}f=\left(f_{1},\,\ldots ,\,f_{r}\right)$ ist die verknüpfte Abbildung gleich

{}{\begin{aligned}(fg)\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{r}\right)&=f\left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i},\,\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i},\,\ldots ,\,\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right)\\&=f_{1}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i}\right)}+f_{2}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i}\right)}+\cdots +f_{r}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}a_{1i}f_{1}{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{r}a_{2i}f_{2}{\left(v_{i}\right)}+\cdots +\sum _{i=1}^{r}a_{ri}f_{r}{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i,j}a_{ji}f_{j}{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j}{\left(v_{1}\right)}+\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j}{\left(v_{2}\right)}+\cdots +\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}{\left(v_{r}\right)}\\&=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j},\,\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}\right)\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{r}\right).\end{aligned}}

Daher ist

{}{\begin{aligned}fg&=\left(f_{1},\,\ldots ,\,f_{r}\right)g\\&=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j},\,\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}\right).\end{aligned}}

Es sei nun ${}V=K^{n}$ , sodass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum ${}V^{r}$ gehört der Polynomring

K[X_{ij}\,,1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq r].

Dabei repräsentieren die ${}X_{ij}$ , ${}1\leq i\leq n$ , die Koordinatenfunktionen der ${}j$ -ten Kopie des Vektorraums ${}K^{n}$ . Die Variable ${}X_{ij}$ ist die ${}j$ -te Projektion von ${}V^{r}$ auf ${}V=K^{n}$ gefolgt von der ${}i$ -ten Projektion ${}p_{i}$ von ${}K^{n}$ auf ${}K$ . Somit ist (es steht ${}p_{i}$ an der ${}j$ -ten Stelle)

{}{\begin{aligned}X_{ij}g&=\left(0,\,\ldots ,\,p_{i},\,0,\,\ldots ,\,0\right)g\\&=\left(a_{j1}p_{i},\,\ldots ,\,a_{jr}p_{i}\right)\\&=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}X_{ik}.\end{aligned}}

Wenn eine Linearform (also eine Linearkombination aller ${}X_{ij}$ ) in Matrixform als

{\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1r}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nr}\end{pmatrix}}

gegeben ist, wobei die ${}c_{ij}$ die Koeffizienten zu ${}X_{ij}$ bezeichnen, so erhält man die durch ${}g$ transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu ${}g$ multipliziert, also

{\begin{pmatrix}c'_{11}&c'_{12}&\ldots &c'_{1r}\\c'_{21}&c'_{22}&\ldots &c'_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c'_{n1}&c'_{n2}&\ldots &c'_{nr}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1r}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nr}\end{pmatrix}}\circ {{\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}.

Damit liegt eine Operation der ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf dem Polynomring in ${}nr$ Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{r}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ ein. Dann sind sämtliche ${}r$ -Minoren der Variablenmatrix

{\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1r}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{n1}&X_{n2}&\ldots &X_{nr}\end{pmatrix}}

invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die universelle alternierende Abbildung

V^{r}\longrightarrow \bigwedge ^{r}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{r})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}.

Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von Fakt invariant unter der Gruppenoperation (dafür braucht man, dass die Determinanten von ${}g$ gleich ${}1$ sind). Die ${}r$ -Minoren sind Linearformen auf dem ${}r$ -ten Dachprodukt.

Definition

Zu einem ${}K$ -Vektorraum ${}V$ und einer natürlichen Zahl ${}r$ nennt man die Menge der ${}r$ -dimensionalen Untervektorräume ${}U\subseteq V$ die ${}r$ -te Graßmann-Varietät. Sie wird mit ${}G(r,V)$ und bei ${}V=K^{n}$ mit ${}G(r,n)$ bezeichnet.

Nach Beispiel ist ${}G(r,V)$ der Bahnenraum zur dort beschriebenen Operation der ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf ${}T\subseteq V^{r}$ , wobei ${}T$ aus den linear unabhängigen ${}r$ -Tupeln besteht. Dieses ${}T$ ist in der Zariski-Topologie eine offene Teilmenge und bei ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$ auch in der metrischen Topologie offen. Man kann ${}G(r,V)$ mit der Quotiententopologie unter der Quotientenabbildung versehen. Im metrischen Fall erhält man sogar eine Mannigfaltigkeitsstruktur auf ${}G(r,V)$ , man spricht dann von der Graßmann-Mannigfaltigkeit.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen

(B,C),

wobei ${}B$ eine ${}m\times n$ -Matrix und ${}C$ eine ${}n\times k$ -Matrix ist. Es gibt also insgesamt ${}n(k+m)$ Koordinaten. Die allgemeine lineare Gruppe ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu ${}A\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ setzen wir

{}A\cdot (B,C):=(BA^{-1},AC)\,.

Dass eine Operation vorliegt, folgt aus

{}{\begin{aligned}A_{1}\cdot {\left(A_{2}\cdot (B,C)\right)}&=A_{1}\cdot {\left(BA_{2}^{-1},A_{2}C\right)}\\&=((BA_{2}^{-1})A_{1}^{-1},A_{1}(A_{2}C))\\&=(B(A_{2}^{-1})A_{1}^{-1}),(A_{1}A_{2})C)\\&=(B(A_{1}A_{2})^{-1},(A_{1}A_{2})C)\\&=(A_{1}A_{2})\cdot (B,C),\end{aligned}}

woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen

X={\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1n}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m1}&X_{m2}&\ldots &X_{mn}\end{pmatrix}}\,\,{\text{  und }}\,\,Y={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\ldots &Y_{1k}\\Y_{21}&Y_{22}&\ldots &Y_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\ldots &Y_{nk}\end{pmatrix}}

kann man einfach invariante Polynome aus ${}R=K[X,Y]$ angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix ${}XY$ , also die Ausdrücke der Form

{}F_{ij}:=X_{i1}Y_{1j}+X_{i2}Y_{2j}+\cdots +X_{in}Y_{nj}\,.

Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung

\psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times k}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times k}(K),\,(B,C)\longmapsto BC,

welche sich direkt aus

{}\psi (A\cdot (B,C))=\psi (BA^{-1},AC)=BA^{-1}AC=BC=\psi (B,C)\,

ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den ${}F_{ij}$ erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring ${}K[W]=K[W_{ij},\,1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq k]$ heranzieht und die surjektive Abbildung

\pi \colon K[W]\longrightarrow R^{G},\,W_{ij}\longmapsto F_{ij},

betrachtet, so wird der Kern von ${}\pi$ durch sämtliche ${}n+1$ -Minoren der Variablenmatrix ${}W$ erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter Minorenring (oder Determinantenring), und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.