Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Beispiele/Textabschnitt
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Es sei eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen
durch (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert ) und durch
Dann gibt es ein Teilintervall mit derart, dass für die Folge gegen einen Punkt konvergiert, wobei gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Die Grenzfunktion ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz .
Zu einem ortsunabhängigen Vektorfeld
und der Anfangsbedingung führt die erste Picard-Lindelöf-Iteration auf
wobei eine Stammkurve zu mit sei. Die erste Iteration liefert hier also direkt die Lösung. Die kontrahierende Abbildung im Beweis zu Fakt ist in dieser Situation konstant.
Wir wenden dieses approximative Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen (siehe Aufgabe).
Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf die Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung
an (die Lösung ist ). Daher ist . Die erste Iteration liefert
Die zweite Iteration liefert
Die dritte Iteration liefert
Dabei stimmt die -te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung der Lösung überein.
Es sei
eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf dem und es sei eine Anfangsbedingung gegeben. Wir behaupten, dass die -te Picard-Lindelöf-Iteration gleich
ist, wobei die -fache Potenz der Matrix bezeichnet. Diese Aussage zeigen wir durch Induktion nach . Für steht rechts einfach die konstante Kurve . Es sei die Aussage nun für schon bewiesen. Dann ist
und die Aussage ist auch für richtig. Diese Approximationen sind die Anfangsglieder in der „Exponentialreihe in dem Ausdruck“ . Man kann zeigen, dass diese Exponentialreihe auf konvergiert und in der Tat die Lösung des Anfangswertproblems ist (der Satz von Picard-Lindelöf sichert nur die Konvergenz auf einer Intervallumgebung).
Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf das Anfangswertproblem
zum Vektorfeld
an. Es ist
Daher ist
Es ist
und daher
Wegen
und daher