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Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Beispiele/Textabschnitt

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Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Es sei eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen

durch (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert ) und durch

Dann gibt es ein Teilintervall mit derart, dass für die Folge gegen einen Punkt konvergiert, wobei gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Die Grenzfunktion ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems

Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz .


Zu einem ortsunabhängigen Vektorfeld

und der Anfangsbedingung führt die erste Picard-Lindelöf-Iteration auf

wobei eine Stammkurve zu mit sei. Die erste Iteration liefert hier also direkt die Lösung. Die kontrahierende Abbildung im Beweis zu Fakt ist in dieser Situation konstant.


Wir wenden dieses approximative Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen (siehe Aufgabe).


Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf die Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung

an (die Lösung ist ). Daher ist . Die erste Iteration liefert

Die zweite Iteration liefert

Die dritte Iteration liefert

Dabei stimmt die -te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung der Lösung überein.


Es sei

eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf dem und es sei eine Anfangsbedingung gegeben. Wir behaupten, dass die -te Picard-Lindelöf-Iteration gleich

ist, wobei die -fache Potenz der Matrix bezeichnet. Diese Aussage zeigen wir durch Induktion nach . Für steht rechts einfach die konstante Kurve . Es sei die Aussage nun für schon bewiesen. Dann ist

und die Aussage ist auch für richtig. Diese Approximationen sind die Anfangsglieder in der „Exponentialreihe in dem Ausdruck“ . Man kann zeigen, dass diese Exponentialreihe auf konvergiert und in der Tat die Lösung des Anfangswertproblems ist (der Satz von Picard-Lindelöf sichert nur die Konvergenz auf einer Intervallumgebung).



Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf das Anfangswertproblem

zum Vektorfeld

an. Es ist

Daher ist

Es ist

und daher

Wegen

und daher