Polynome/Nullstellengebilde/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Dann nennt man ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ den affinen Raum über ${}K$ der Dimension ${}n$.

Der affine Raum ist also zunächst einfach eine Menge aus Punkten. Ein Punkt im affinen Raum ist einfach ein ${}n$-Tupel ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ mit Koordinaten aus ${}K$. Für ${}n=1$ spricht man von der affinen Geraden und für ${}n=2$ von der affinen Ebene.

Ein Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ fasst man in natürlicher Weise als Funktion auf dem affinen Raum auf: Einem Punkt ${}P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit ${}P={\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ wird der Wert ${}F(P)=F{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ zugeordnet, indem die Variable ${}X_{i}$ durch ${}a_{i}$ ersetzt wird und alles in ${}K$ ausgerechnet wird. Zu einen Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ kann man insbesondere fragen, ob ${}F(P)=0$ ist oder nicht. Zu ${}F$ rückt dann insbesondere das dadurch definierte „Nullstellengebilde“ ins Interesse.

Definition

Zu einem Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ nennt man

${}V(F)={\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}\mid F(P)=0\right\}}\,$

die durch ${}F$ definierte (affin-algebraische) Hyperfläche.

Neben Nullstellengebilden, die durch eine Gleichung definiert sind, ist es auch sinnvoll, zu untersuchen, wie das gemeinsame (simultane) Nullstellengebilde zu mehreren Polynomen aussieht. Dieses beschreibt den Durchschnitt der einzelnen beteiligten Nullstellengebilde (wie beispielsweise bei Kegelschnitten, wo man einen Kegel im dreidimensionalen Raum mit verschiedenen Ebenen schneidet).

Kegelschnitte sind die Nullstellengebilde, die als Durchschnitt des Doppelkegels mit einer Ebenen entstehen.

Daher definieren wir allgemein.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}j\in J$, eine Familie von Polynomen in ${}n$ Variablen. Dann nennt man

${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit ${}V(F_{j},j\in J)$ bezeichnet.

Diejenigen Teilmengen des affinen Raumes, die als Nullstellenmengen auftreten, verdienen einen eigenen Namen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen. Dann heißt eine Teilmenge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, von Polynomen ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist, wenn also ${}V=V(F_{j},j\in J)$ gilt.

Oft spricht man auch von Varietäten, wobei dieser Begriff eigentlich für irreduzible affin-algebraische Mengen reserviert wird. Die einfachsten Beispiele sind eine endliche Punktemenge auf der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$, die durch ein einzelnes Polynom gegeben sind, und affin-lineare Unterräume im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, die ja als Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems über ${}K$ gegeben sind. Wir führen ohne Beweise einige wichtige Aussagen für affin-algebraische Mengen an.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}j\in J$, eine Familie von Polynomen in ${}n$ Variablen. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ das von den ${}F_{j}$ erzeugte Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann ist

${}V(F_{j},j\in J)=V({\mathfrak {a}})\,.$

Wir können also im Folgenden bei jeder Nullstellenmenge davon ausgehen, dass sie durch ein Ideal gegeben ist.

Affin-algebraische Teilmengen des affinen Raumes erfüllen einige wichtige strukturelle Eigenschaften.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen und sei ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
2. Es ist ${}V(1)=\emptyset$, d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
3. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$

   Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

4. Es seien ${}V_{i}$, ${}i\in I$, affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$

   Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Diese strukturellen Eigenschaften erlauben es, eine Topologie auf dem affine Raum einzuführen, die für das Studium von Polynomen angemessen ist.

Definition

In einem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.

Die offenen Mengen in dieser Topologie werden mit

${}D({\mathfrak {a}})={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus V({\mathfrak {a}})\,$

bezeichnet. Die Zariski-Topologie ist nicht Hausdorffsch, es gibt keine kleinen offenen Bälle.

Der folgende Satz heißt Hilbertscher Basissatz. Er besagt, dass Ideale im Polynomring endlich erzeugt sind und damit auch, dass affin-algebraische Mengen stets durch eine endliche Familie von Polynomen beschrieben werden können.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper.

Dann ist ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.