Polynome/Nullstellengebilde/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein Körper. Dann nennt man den affinen Raum über der Dimension .

Der affine Raum ist also zunächst einfach eine Menge aus Punkten. Ein Punkt im affinen Raum ist einfach ein -Tupel mit Koordinaten aus . Für spricht man von der affinen Geraden und für von der affinen Ebene.

Ein Polynom fasst man in natürlicher Weise als Funktion auf dem affinen Raum auf: Einem Punkt mit wird der Wert zugeordnet, indem die Variable durch ersetzt wird und alles in ausgerechnet wird. Zu einen Polynom kann man insbesondere fragen, ob ist oder nicht. Zu rückt dann insbesondere das dadurch definierte „Nullstellengebilde“ ins Interesse.


Definition  

Zu einem Polynom über einem Körper nennt man

die durch definierte (affin-algebraische) Hyperfläche.

Neben Nullstellengebilden, die durch eine Gleichung definiert sind, ist es auch sinnvoll, zu untersuchen, wie das gemeinsame (simultane) Nullstellengebilde zu mehreren Polynomen aussieht. Dieses beschreibt den Durchschnitt der einzelnen beteiligten Nullstellengebilde (wie beispielsweise bei Kegelschnitten, wo man einen Kegel im dreidimensionalen Raum mit verschiedenen Ebenen schneidet).

Kegelschnitte sind die Nullstellengebilde, die als Durchschnitt des Doppelkegels mit einer Ebenen entstehen.


Daher definieren wir allgemein.


Definition  

Sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Dann nennt man

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit bezeichnet.

Diejenigen Teilmengen des affinen Raumes, die als Nullstellenmengen auftreten, verdienen einen eigenen Namen.


Definition  

Sei ein Körper und sei der Polynomring in Variablen. Dann heißt eine Teilmenge im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie , , von Polynomen ist, wenn also gilt.

Oft spricht man auch von Varietäten, wobei dieser Begriff eigentlich für irreduzible affin-algebraische Mengen reserviert wird. Die einfachsten Beispiele sind eine endliche Punktemenge auf der affinen Geraden , die durch ein einzelnes Polynom gegeben sind, und affin-lineare Unterräume im , die ja als Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems über gegeben sind. Wir führen ohne Beweise einige wichtige Aussagen für affin-algebraische Mengen an.


Lemma

Sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Es sei das von den erzeugte Ideal in . Dann ist

Wir können also im Folgenden bei jeder Nullstellenmenge davon ausgehen, dass sie durch ein Ideal gegeben ist.

Affin-algebraische Teilmengen des affinen Raumes erfüllen einige wichtige strukturelle Eigenschaften.


Proposition

Sei ein Körper, der Polynomring in Variablen und sei der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. , d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
  2. , d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
  3. Es seien affin-algebraische Mengen mit . Dann gilt

    Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

  4. Es seien , , affin-algebraische Mengen mit . Dann gilt
    Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Diese strukturellen Eigenschaften erlauben es, eine Topologie auf dem affine Raum einzuführen, die für das Studium von Polynomen angemessen ist.


Definition  

In einem affinen Raum versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.

Die offenen Mengen in dieser Topologie werden mit

bezeichnet. Die Zariski-Topologie ist nicht Hausdorffsch, es gibt keine kleinen offenen Bälle.

Der folgende Satz heißt Hilbertscher Basissatz. Er besagt, dass Ideale im Polynomring endlich erzeugt sind und damit auch, dass affin-algebraische Mengen stets durch eine endliche Familie von Polynomen beschrieben werden können.


Satz

Sei ein Körper.

Dann ist noethersch.