Reelle Exponentialfunktion/Über gleichmäßig stetig/Textabschnitt

Für jede positive reelle Zahl ${}b$ und ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}b^{n}$ eine positive reelle Zahl, wobei die Potenzgesetze gelten, siehe Aufgabe. Für eine weitere natürliche Zahl ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und eine positive reelle Zahl ${}y$ ist ${}y^{1/m}$ definiert. Für eine rationale Zahl ${}q=n/m$ ist daher ${}b^{q}=(b^{n})^{1/m}$ definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von ${}q$, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}b^{q+q'}=b^{q}\cdot b^{q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
2. Es ist ${}b^{-q}={\frac {1}{b^{q}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{q})^{q'}=b^{q\cdot q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{q}=a^{q}\cdot b^{q}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl.

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig stetig.

Beweis

Wir betrachten Intervalle der Form ${}[-n,n]$ mit ${}n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Monotonie ist

${}b^{q}\leq m:={\max {\left(b^{n},b^{-n}\right)}}\,$

für alle ${}q\in [-n,n]$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die Folge ${}{\left(b^{1/k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe gegen ${}1$, daher gibt es insbesondere ein ${}k$ derart, dass

${}\vert {b^{1/k}-1}\vert \leq {\frac {\epsilon }{m}}\,$

ist. Wir setzen ${}\delta =1/k$. Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen ${}q,q'\in [-n,n]$ mit

${}\vert {q'-q}\vert \leq \delta \,$

unter Verwendung der Funktionalgleichung die Abschätzungen (wir beschränken uns auf den Fall ${}b\geq 1$ und ${}q'\geq q$)

${}\vert {b^{q'}-b^{q}}\vert =\vert {{\frac {b^{q'}}{b^{q}}}-1}\vert \cdot b^{q}\leq \vert {b^{q'-q}-1}\vert \cdot m\leq {\frac {\epsilon }{m}}\cdot m=\epsilon \,.$

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Die Exponentialfunktionen für die Basen ${}b=10,{\frac {1}{2}}$ und ${}e$.

Aufgrund von Fakt und Fakt (mit einem beliebigen Intervall ${}[-n,n]$ statt ganz ${}\mathbb {Q}$.) lassen sich die zunächst nur auf ${}\mathbb {Q}$ definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen.

Definition

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Lemma

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Beweis

Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe. Es sei ${}x_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x$ konvergiert, und ${}y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x'$ konvergiert. Dann ist nach Fakt  (1) die Folge ${}x_{n}+y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen ${}x+x'$ konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Fakt  (2) und der Stetigkeit

${}{\begin{aligned}b^{x+x'}&=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(b^{x_{n}}\cdot b^{y_{n}}\right)}\\&={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{y_{n}}\right)}\\&=b^{x}b^{x'}.\end{aligned}}$

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