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Riemannsche Fläche/Divisor/Rückzug/Textabschnitt

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Zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und und einem Divisor nennt man

den zurückgezogenene Divisor zu .

Zu einem einzelnen Punkt , aufgefasst als Divisor, ist der zurückgezogene Divisor gleich . Dies ist also im Wesentlichen die Faser über , wobei allerdings die Verzweigungspunkte, also Punkte, wo die Verzweigungsordnung ist, mehrfach gezählt werden. Der Rückzug ist ein Gruppenhomomorphismus , siehe Aufgabe.



Zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung

zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und einem Hauptdivisor auf zu einer meromorphen Funktion auf

stimmt der zurückgezogene Divisor mit dem Hauptdivisor zu überein.

Sei fixiert und der Bildpunkt. Die Ordnung des zurückgezogenen Divisors in ist nach Definition gleich , wobei die Ordnung von in ist, also die Ordnung der meromorphen Funktion auf in . Mit einem lokalen Parameter um , mit dessen Hilfe ja die Verzweigungsordnung von definiert wird, kann man in einer offenen Umgebung von

mit einer holomorphen Einheit schreiben. Dann ist die Ordnung von in gleich



Zu einer meromorphen Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche

stimmt der Hauptdivisor mit dem zurückgezogenen Divisor zum Divisor auf der projektiven Geraden unter der nach Fakt zugehörigen holomorphen Abbildung überein.

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf die Identität auf der projektiven Geraden. Wenn man diese als meromorphe Funktion auffasst, so ist deren Hauptdivisor gleich .



Eine nichtkonstante holomorphe Abbildung

zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen

induziert über das Zurückziehen von Divisoren einen Gruppenhomomorphismus

Dies folgt aus Fakt.