Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotient/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe auf einer riemannschen Fläche ${}X$ und ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ eine invertierbare Untergarbe.

Dann besitzt die Quotientengarbe einen diskreten Träger, deren Halme endlichdimensionale ${}{\mathbb {C} }$-Vektorräume sind.

Beweis

Lokal auf einer offenen Kreisscheibe ${}U\subseteq X$ liegt die Situation

${\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U},\,1\longmapsto f,$

mit einer nichttrivialen holomorphen Funktion ${}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ vor. Auf dem Ort, wo ${}f$ nullstellenfrei ist, liegt ein Isomorphismus mit Quotientengarbe ${}0$ vor. Nach Fakt ist das Komplement diskret. Es habe ${}f$ eine Nullstelle in ${}P$. Dann ist mit einer lokalen Koordinate ${}z$ die Funktion gleich

${}f=gz^{n}\,$

mit ${}g$ nullstellenfrei in ${}P$ und ${}n\geq 1$. Im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ erzeugen ${}f$ und ${}z^{n}$ das gleiche Ideal, daher ist

${}{\left({\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\right)}_{P}\cong {\mathcal {O}}_{X,P}/(z^{n})\cong {\mathbb {C} }^{n}\,.$

$\Box$

Speziell hat bei ${}X$ kompakt die Quotientengarbe ${}{\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}$ einen endlichen Träger.

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte riemannsche Fläche und seien ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ invertierbare Garben mit der zugehörigen kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Dann ist

${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {M}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})+\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\right)}\right)}\,.$

Beweis

Nach Fakt und wegen der Kompaktheit ist der Träger der Quotientengarbe endlich und der Raum der globalen Schnitte dieser Garbe besitzt eine endliche Dimension. Es sei ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$ und ${}{\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(E)$ und wegen der vorausgesetzten Inklusion gilt ${}D\leq E$ nach Fakt  (2). Wir tensorieren die Gesamtsituation mit ${}{\mathcal {L}}^{-1}$. Dabei ändert sich die Graddifferenz zwischen den beiden invertierbaren Garben nicht und die Quotientengarbe ändert sich nicht, da sie einen endlichen Träger besitzt und lokal mit der Strukturgarbe tensoriert wird. Es liegt also eine Situation

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(F)/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

mit einem effektiven Divisor ${}F$ vor. Somit folgt die Aussage aus Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${}{\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe mit einem nichttrivialen globalen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.

Dann ist der Grad von ${}{\mathcal {M}}$ nichtnegativ.

Beweis

Der nichttriviale Schnitt ${}s$ definiert einen Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {M}}$, ${}1\longmapsto s$, der injektiv ist. Daher folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$