Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ . Unter einem (formalen) Differentialoperator auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ versteht man eine endliche Summe

\sum _{\alpha }g_{\alpha }\partial ^{\alpha }

mit polynomialen Koeffizientenfunktionen ${}g_{\alpha }\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ , wobei die Indizes Tupel aus ${}\mathbb {N} ^{n}$ sind.

Die Differentialoperatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ haben die besondere Eigenschaft, dass sie ${}X^{\alpha }$ auf ${}1$ abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom ${}f\neq 0$ einen Operator, der dieses Polynom auf ${}1$ abbildet. Wenn ${}f$ die Form

{}f=\sum _{\beta =d}c_{\beta }X^{\beta }+\sum _{\beta <d}c_{\beta }X^{\beta }\,

mit einem ${}c_{\alpha }\neq 0$ vom Grad ${}d$ für ein bestimmtes ${}\alpha$ , so ist ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ ein Operator, der ${}f$ auf ${}c_{\alpha }$ abbildet.

Im Weiteren soll es um Differentialoperatoren gehen, die nicht auf (Funktionen auf) dem glatten Raum ${}K^{n}$ wirken, sondern auf Räumen mit Singularitäten. Als ein typisches Beispiel kann man einen Doppelkegel betrachten, den man als die Nullstellenmenge des Polynoms ${}Z^{2}-X^{2}-Y^{2}$ betrachten kann. Nennen wir dieses geometrische Objekt ${}S$ , also

{}S={\left\{(x,y,z)\in K^{3}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\right\}}\,.

Es hat in der Kegelspitze ${}(0,0,0)\in S$ eine Singularität. In jedem anderen Punkt ist er glatt, d.h. man kann (bei $K=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$ ) den Satz über implizite Abbildungen anwenden und erhält, dass außerhalb der Singularität eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vorliegt. Es gibt also lokal in einer offenen Umgebung ${}U$ zu einem jeden Punkt ${}P\neq (0,0,0)$ einen Diffeomorphismus zu einer offenen Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ . Auf einer solchen offenen Menge wissen wir, was die Differentialoperatoren sind. Mit lokalen Koordinaten ${}s,t$ für ${}V$ hat man lokal die partiellen Ableitungen ${}\partial _{s}$ und ${}\partial _{t}$ und somit auch ihre Verknüpfungen und Multiplikation mit Koeffizentenfunktionen zur Verfügung. Über den Diffeomorphismus überträgt sich dies zurück auf ${}U$ . Im algebraischen Kontext ist diese Überlegung etwas komplizierter und arbeitet mit regulären Ringen.

Ein sinnvoller Differentialoperator auf (Funktionen auf) ${}S$ muss jedenfalls auch auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq S$ einen Differentialoperator induzieren, und wenn eine Überdeckung

{}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,

mit offenen Mengen vorliegt und auf den ${}U_{i}$ jeweils ein Differentialoperator ${}E_{i}$ gegeben ist, die miteinander verträglich sind in dem Sinne, dass für die Einschränkungen

{}E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,

gilt, so sollte dies von einem Differentialoperator ${}E$ auf ganz ${}U$ herrühren. D.h. man erwartet, dass Differentialoperatoren eine Garbe bilden. Diese naheliegenden Bedingungen legen bereits ein eindeutiges Konzept für Differentialoperatoren auf ${}S\setminus \{(0,0,0)\}$ fest. In der Tat werden diese Operatoren bereits die Operatoren auf ganz ${}S$ sein (die Singularität ist normal).

Achtung: Die partiellen Ableitungen ${}\partial _{X},\partial _{Y},\partial _{Z}$ des umgebenden Raumes ${}K^{3}$ ergeben keinen Sinn auf ${}S$ . Das Polynom ${}Z^{2}-X^{2}-Y^{2}$ ist ja die Nullfunktion auf ${}S$ ( ${}S$ wurde ja als die Nullstellenmenge dieses Polynoms definiert), es ist aber

{}\partial _{X}(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})=-2X\neq 0\,

auf ${}S$ .

Wir geben nun die allgemeine algebraische Definition für einen Differentialoperator für eine beliebige kommutative ${}K$ -Algebra. Im ober erwähnten Beispiel geht es um den Restklassenring ${}R=K[X,Y,Z]/(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ .

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$ -Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle ${}K$ -lineare Abbildungen von ${}R$ nach ${}R$ handelt.

Ein Differentialoperator der Ordnung ${}0$ ist die Multiplikationsabbildung
$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$

zu einem Element ${}f\in R$ .
Ein Differentialoperator ${}E$ der Ordnung ${}\leq n$ ist eine lineare Abbildung ${}E\colon R\rightarrow R$ mit der Eigenschaft, dass für jedes ${}f\in R$ die Abbildung
$E\circ \mu _{f}-\mu _{f}\circ E$

ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n-1$ ist.

Wir bemerken, dass dieses Konzept für den Polynomring über einem Körper den durch die ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ frei erzeugten Modul ergibt. Eine entsprechende Beschreibung gilt für jeden regulären (glatten) lokalen Ring.

Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung (genau) ${}n$ besitzt, wenn er eine Ordnung ${}\leq n$ , aber nicht ${}\leq n-1$ besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung ${}1$ sind einfach Derivationen, also ${}K$ -lineare Abbildungen ${}D\colon R\rightarrow R$ , die die Leibniz-Regel

{}D(fg)=fD(g)+gD(f)\,

erfüllen. Diese Regel kann man auch (was zunächst komplizierter aussieht) als

{}D(fg)=fD(g)+gD(f)-fgD(1)\,

schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf ${}0$ abbildet. Für beliebige Differentialoperatoren der Ordnung ${}\leq 1$ gibt es eine entsprechende Produktregel.

Der Modul der Hauptteile

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$ -Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei ${}\Delta \subseteq R\otimes _{K}R$ der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den ${}R$ -Modul

{}P_{R{|}K}^{n}:=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\,,

versehen mit der ${}R$ -Multiplikation in der ersten Komponente, den ${}n$ -ten Modul der Hauptteile.

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$ -Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann nennt man die ${}K$ -lineare Abbildung

d^{n}\colon R\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1},\,f\longmapsto 1\otimes f,

den universellen Differentialoperator der Ordnung ${}n$ .

Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar ${}(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$ .

Wir bezeichnen zu einem Monom ${}\lambda \in \mathbb {N} ^{k}$ mit

{}D^{\lambda }={\left(\partial _{X_{1}}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{X_{k}}\right)}^{\lambda _{k}}\,

diesen Differentialoperator auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ . Der Ausdruck

{}{\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }={\frac {1}{\lambda !}}{\left(\partial _{X_{1}}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{X_{k}}\right)}^{\lambda _{k}}\,

ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom ${}X^{\nu }$ direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in ${}\mathbb {Z}$ behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form ${}D^{\lambda }$ , wobei eine Komponente von ${}\lambda$ negativ ist, ist als ${}0$ zu interpretieren.

Lemma

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

{}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.

Dann ist

${}R\otimes _{K}R\cong R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}\,$

mit

${}G_{i}=\sum _{\lambda }G_{i,\lambda }A^{\lambda }\,$

und

${}G_{i,\lambda }={\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}{\left(F_{i}\right)}\,.$

Definition

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}I={\left\{(\mu ,i)\mid \mu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m\right\}}$ und ${}J={\left\{\nu \mid \nu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\nu )\leq n\right\}}$ . Dann nennt man die ${}I\times J$ -Matrix mit Einträgen

{}a_{(\mu ,i;\nu )}={\frac {\partial ^{\nu -\mu }}{(\nu -\mu )!}}{\left(F_{i}\right)}\,

die ${}n$ -te Jacobi-Taylor-Matrix.

Diese Matrizen bezeichnen wir mit ${}J_{n}$ . Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.

In drei Variablen und einer Gleichung ${}F$ sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus (über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch ${}F$ ).

{\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&\partial _{X}(F)&0&0&0\\B&\partial _{Y}(F)&0&0&0\\C&\partial _{Z}(F)&0&0&0\\A^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{X}\partial _{X}(F)&\partial _{X}(F)&0&0\\AB&\partial _{X}\partial _{Y}(F)&\partial _{Y}(F)&\partial _{X}(F)&0\\AC&\partial _{X}\partial _{Z}(F)&\partial _{Z}(F)&0&\partial _{X}(F)\\B^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{Y}\partial _{Y}(F)&0&\partial _{Y}(F)&0\\BC&\partial _{Y}\partial _{Z}(F)&0&\partial _{Z}(F)&\partial _{Y}(F)\\C^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{Z}\partial _{Z}(F)&0&0&\partial _{Z}(F)\end{pmatrix}}

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

{}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.

Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung (eine exakte Sequenz von ${}R$ -Moduln)

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow 0,$

wobei ${}M$ die transponierte ${}n$ -te Jacobi-Taylor-Matrix ist.

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

{}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.

Dann entsprechen die Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$ auf ${}R$ den Elementen des Kernes der ${}n$ -ten Jacobi-Taylor-Matrix.

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

{}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.

Dann wird ein durch ein ${}\lambda$ -Tupel ${}{\left(a_{\lambda }\right)}$ im Sinne von Fakt gegebener Differentialoperator auf ${}R$ auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ durch

$\sum _{\lambda }a_{\lambda }{\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}$

repräsentiert.

Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form

{}Z_{\nu }={\left({\frac {1}{(\nu -\mu )!}}D^{\nu -\mu }(F_{i})\,,(\mu ,i)\right)}\,.

Lemma

Es sei ${}R\subseteq S=R\oplus U$ ein direkter Summand von ${}K$ -Algebren.

Dann definiert jeder Differentialoperator ${}E\colon S\rightarrow S$ der Ordnung ${}\leq n$ über

$R\longrightarrow S{\stackrel {E}{\longrightarrow }}S{\stackrel {\rho }{\longrightarrow }}R$

einen Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$ auf ${}R$ , wobei ${}\rho$ die Projektion längs ${}U$ bezeichnet.

Korollar

Es sei ${}R$ ein direkter Summand eines Polynomrings ${}P$ .

Dann gibt es für jedes ${}f\in R$ , ${}f\neq 0$ , einen Differentialoperator ${}E\colon R\rightarrow R$ mit ${}E(f)=1$ .

Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form

{}M=C\cap \Gamma \,

mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter (das Differenzengitter zu ${}M$ ) ${}\Gamma =\mathbb {Z} M$ gegeben. Es sei ${}d$ die Dimension von ${}\Gamma$ und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{r}$ die Facetten von ${}C$ . Zu jeder Facette ${}F_{i}$ gibt es eine integrale Linearform

\ell _{i}\colon \Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ,

deren Kern ${}F_{i}$ ist, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu einem charakteristischen Polytop und dessen Volumen. Durch

{}\ell _{1}+\cdots +\ell _{r}=1\,

wird eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen ein (kompaktes) Polytop. Das ${}d!$ -fache dessen Volumen nennen wir die ${}D$ -Signatur des Kegels.

Es ist nicht unmittelbar klar, ob und wie man diese als Invarianten der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist.

Wir erwähnen für das Monoid ${}\mathbb {N} ^{n}$ bzw. den Monoidring

{}K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,

folgende Beobachtung. Wegen

{}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}{\left(X^{\beta }\right)}={\frac {\beta !}{\alpha !(\beta -\alpha )!}}X^{\beta -\alpha }\,

ist die Wirkungsweise der Operatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ auf einem Tupel ${}\beta$ im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung ${}-\alpha$ , wobei das Ergebnis als ${}0$ zu interpretieren ist, falls man außerhalb von ${}\mathbb {N} ^{n}$ landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ , die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen.

Beispiel

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch ein Quadrat in der ${}1$ -Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte

(0,0,1),\,(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,1).

Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch