Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper der Charakteristik . Unter einem (formalen) Differentialoperator auf versteht man eine endliche Summe

mit polynomialen Koeffizientenfunktionen , wobei die Indizes Tupel aus sind.

Bemerkung  

Die Differentialoperatoren haben die besondere Eigenschaft, dass sie auf abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom einen Operator, der dieses Polynom auf abbildet. Wenn die Form

mit einem vom Grad für ein bestimmtes , so ist ein Operator, der auf abbildet.


DoubleCone.png

Im Weiteren soll es um Differentialoperatoren gehen, die nicht auf (Funktionen auf) dem glatten Raum wirken, sondern auf Räumen mit Singularitäten. Als ein typisches Beispiel kann man einen Doppelkegel betrachten, den man als die Nullstellenmenge des Polynoms betrachten kann. Nennen wir dieses geometrische Objekt , also

Es hat in der Kegelspitze eine Singularität. In jedem anderen Punkt ist er glatt, d.h. man kann (bei oder ) den Satz über implizite Abbildungen anwenden und erhält, dass außerhalb der Singularität eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vorliegt. Es gibt also lokal in einer offenen Umgebung zu einem jeden Punkt einen Diffeomorphismus zu einer offenen Menge . Auf einer solchen offenen Menge wissen wir, was die Differentialoperatoren sind. Mit lokalen Koordinaten für hat man lokal die partiellen Ableitungen und und somit auch ihre Verknüpfungen und Multiplikation mit Koeffizentenfunktionen zur Verfügung. Über den Diffeomorphismus überträgt sich dies zurück auf . Im algebraischen Kontext ist diese Überlegung etwas komplizierter und arbeitet mit regulären Ringen.

Ein sinnvoller Differentialoperator auf (Funktionen auf) muss jedenfalls auch auf jeder offenen Menge einen Differentialoperator induzieren, und wenn eine Überdeckung

mit offenen Mengen vorliegt und auf den jeweils ein Differentialoperator gegeben ist, die miteinander verträglich sind in dem Sinne, dass für die Einschränkungen

gilt, so sollte dies von einem Differentialoperator auf ganz herrühren. D.h. man erwartet, dass Differentialoperatoren eine Garbe bilden. Diese naheliegenden Bedingungen legen bereits ein eindeutiges Konzept für Differentialoperatoren auf fest. In der Tat werden diese Operatoren bereits die Operatoren auf ganz sein (die Singularität ist normal).

Achtung: Die partiellen Ableitungen des umgebenden Raumes ergeben keinen Sinn auf . Das Polynom ist ja die Nullfunktion auf ( wurde ja als die Nullstellenmenge dieses Polynoms definiert), es ist aber

auf .

Wir geben nun die allgemeine algebraische Definition für einen Differentialoperator für eine beliebige kommutative -Algebra. Im ober erwähnten Beispiel geht es um den Restklassenring .


Definition  

Es sei eine kommutative -Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle -lineare Abbildungen von nach handelt.

  1. Ein Differentialoperator der Ordnung ist die Multiplikationsabbildung

    zu einem Element .

  2. Ein Differentialoperator der Ordnung ist eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass für jedes die Abbildung

    ein Differentialoperator der Ordnung ist.

Wir bemerken, dass dieses Konzept für den Polynomring über einem Körper den durch die frei erzeugten Modul ergibt. Eine entsprechende Beschreibung gilt für jeden regulären (glatten) lokalen Ring.

Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung (genau) besitzt, wenn er eine Ordnung , aber nicht besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung sind einfach Derivationen, also -lineare Abbildungen , die die Leibniz-Regel

erfüllen. Diese Regel kann man auch (was zunächst komplizierter aussieht) als

schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf abbildet. Für beliebige Differentialoperatoren der Ordnung gibt es eine entsprechende Produktregel.



Der Modul der Hauptteile

Definition  

Es sei eine kommutative -Algebra und . Es sei der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den -Modul

versehen mit der -Multiplikation in der ersten Komponente, den -ten Modul der Hauptteile.


Definition  

Es sei eine kommutative -Algebra und . Dann nennt man die -lineare Abbildung

den universellen Differentialoperator der Ordnung .

Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar .

Wir bezeichnen zu einem Monom mit

diesen Differentialoperator auf dem Polynomring . Der Ausdruck

ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form , wobei eine Komponente von negativ ist, ist als zu interpretieren.


Lemma

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann ist

mit

und


Definition  

Es seien Polynome. Zu sei und . Dann nennt man die -Matrix mit Einträgen

die -te Jacobi-Taylor-Matrix.

Diese Matrizen bezeichnen wir mit . Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.

In drei Variablen und einer Gleichung sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus (über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch ).


Korollar

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung (eine exakte Sequenz von -Moduln)

wobei die transponierte -te Jacobi-Taylor-Matrix ist.


Korollar

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann entsprechen die Differentialoperator der Ordnung auf den Elementen des Kernes der -ten Jacobi-Taylor-Matrix.


Korollar

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann wird ein durch ein -Tupel im Sinne von Fakt gegebener Differentialoperator auf auf dem Polynomring durch

repräsentiert.

Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form


Lemma

Sei ein direkter Summand von -Algebren.

Dann definiert jeder Differentialoperator der Ordnung über

einen Differentialoperator der Ordnung auf , wobei die Projektion längs bezeichnet.


Korollar

Sei ein direkter Summand eines Polynomrings .

Dann gibt es für jedes , , einen Differentialoperator mit .

Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form

mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter (das Differenzengitter zu ) gegeben. Es sei die Dimension von und seien die Facetten von . Zu jeder Facette gibt es eine integrale Linearform

deren Kern ist, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu einem charakteristischen Polytop und dessen Volumen. Durch

wird eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen ein (kompaktes) Polytop. Das -fache dessen Volumen nennen wir die -Signatur des Kegels.

Es ist nicht unmittelbar klar, ob und wie man diese als Invarianten der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist.

Wir erwähnen für das Monoid bzw. den Monoidring

folgende Beobachtung. Wegen

ist die Wirkungsweise der Operatoren auf einem Tupel im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung , wobei das Ergebnis als zu interpretieren ist, falls man außerhalb von landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren , die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen.


Beispiel  

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im durch ein Quadrat in der -Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte

Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch

gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht simplizial. Die definierenden integralen Linearformen sind

Die Summe der vier Linearformen ist

Somit wird das „ -Signatur-Polytop“ durch

begrenzt, und sein Volumen ist

Die kombinatorische -Signatur ist also