Symmetrische Polynome/Invariantentheorie/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation die Gleichheit

besteht, wobei aus entsteht, indem man überall in die Variable durch ersetzt.


Beispiel  

Bei sind alle Polynome symmetrisch, da dort allein die Identität vorliegt. Bei sind die Konstanten und beispielsweise symmetrische Polynome. Bei sind typische Beispiele.


Die Summe und das Produkt von symmetrischen Polynomen ist wieder symmetrisch, daher bilden die symmetrischen Polynome einen Unterring des Polynomringes.


Definition  

Das -te elementarsymmetrische Polynom in Variablen ist das Polynom (mit )

Die elementarsymmetrischen Polynome treten in folgender Situation auf.

Bemerkung  

Wir betrachten das Produkt

in . Wenn man dieses Produkt ausmultipliziert, so erhält man ein (normiertes) Polynom in vom Grad , wobei die Koeffizienten selbst Polynome aus sind. Da man beim Ausmultiplizieren alles mit allem multiplizieren muss, gilt

wobei gerade das -te elementarsymmetrische Polynom bezeichnet. Ein Polynom in mit den Nullstellen besitzt also die elementarsymmetrischen Polynome als Koeffizienten.


Mit Hilfe der elementarsymmetrischen Polynome kann man nun einfach alle symmetrischen Polynome in eindeutiger Form schreiben. Dies ist der Inhalt des Hauptsatzes über symmetrische Polynome. Für den Beweis benötigen wir den Begriff der gradlexikographischen Ordnung.


Definition  

Es sei ein Körper und der Polynomring über . Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch

falls der Grad von , (also ), kleiner als der Grad von ist, oder, bei gleichem Grad, wenn , aber ist, gegeben.

Man verwendet also die Ordnung auf der Variablenmenge. Man vergleicht zwei Monome und , indem man zuerst den Grad miteinander vergleicht. Stimmt dieser überein, so vergleicht man die Exponenten der ersten Variable der beiden Monome miteinander (man vergleicht also den „Anfangsbuchstaben“). Wenn es hier einen Größenunterschied gibt, so ist die Sache entschieden. Andernfalls schaut man sich den Exponenten der zweiten Variablen an, und so weiter. Dies führt zu einer totalen Ordung auf der Menge der Monome. Zu einem Monom gibt es jeweils nur endlich viele Monome, die bezüglich dieser Ordnung kleiner sind. Daher kann man über diese Ordnung Induktion führen.

Zu einem Polynom nennt man das Monom aus (mit einem Koeffizienten ) mit dem größten Exponententupel in der gradlexikographischen Ordnung das Leitmonom von .



Satz  

Jedes symmetrische Polynom lässt sich

eindeutig als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.

D.h. es ist

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten .

Beweis  

Wir führen Induktion über die gradlexikographische Ordnung. Zur Existenz. Es sei ein symmetrisches Polynom. Es sei das Leitmonom von (mit dem Koeffizienten ) Es ist für alle . Andernfalls nämlich betrachtet man die Permutation, die und vertauscht. Das resultierende Monom muss wegen der Symmetrie ebenfalls in vorkommen, wäre aber größer in der gradlexikographischen Ordnung.

Wir betrachten das Polynom

Dabei treten rechts die elementarsymmetrischen Polynome mit nichtnegativen Exponenten auf. Das Polynom rechts enthält ebenfalls als Leitmonom: Hierzu muss man sich die Monome in klar machen. Das Leitmonom von ist und das Leitmonom von ist (das Leitmonom ist multiplikativ, siehe Aufgabe). Daher hat das Polynom rechts das Leitmonom

In der Differenz verschwindet also dieses Monom, d.h. hat einen kleineren Grad in der gradlexikographischen Ordung. Da ebenfalls symmetrisch ist, liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass die elementarsymmetrischen Polynome algebraisch unabhängig sind. Sei also

wobei ein Polynom in den Variablen sei. Wir schreiben als Summe von Monomen der Form

mit . Es sei dasjenige Tupel mit , das in der gradlexikographischen Ordnung maximal ist unter allen Tupeln, für die in vorkommt (es werden also die verglichen, nicht die Differenzen). Dann besitzt als Polynom in das Leitmonom und wäre nicht .


Insbesondere ist der Ring der symmetrischen Polynome selbst isomorph zu einem Polynomring in Variablen.