Trigonalisierbare Abbildung/Eigentheorie/Ohne Beweis/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie Beispiel zeigt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.

Von (2) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Fälle

${}n=0,1\,$

klar sind. Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert, sagen wir ${}\lambda$. Nach Fakt gibt es einen ${}(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum

${}V_{n-1}\subset V\,,$

der ${}\varphi$-invariant. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ eine Basis von ${}V_{n-1}$, die wir durch ${}v_{n}\in V\setminus V_{n-1}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird ${}\varphi$ durch eine Matrix der Gestalt

${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\0&\ldots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Die ${}(n-1)\times (n-1)$-Untermatrix beschreibt dabei die Einschränkung ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$ von ${}\varphi$ auf ${}V_{n-1}$ bezüglich der gegebenen Basis. Da man das charakteristische Polynom mit jeder beschreibenden Matrix ausrechnen kann, ist (Entwicklung nach der letzten Zeile)

${}\chi _{\varphi }=\chi _{\varphi {|}_{V_{n-1}}}\cdot (X-a_{nn})\,.$

Daher muss auch das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi {|}_{V_{n-1}}}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir können also auf

$\varphi {|}_{V_{n-1}}\colon V_{n-1}\longrightarrow V_{n-1}$

die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten das Resultat.

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Satz

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist ${}M$ trigonalisierbar.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und dem Fundamentalsatz der Algebra.

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