Untervektorräume/Summe/Textabschnitt

Definition

Zu einem ${}K$-Vektorraum und einer Familie ${}U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ von Untervektorräumen definiert man die Summe dieser Untervektorräume durch

${}U_{1}+\cdots +U_{n}={\left\{u_{1}+\cdots +u_{n}\mid u_{i}\in U_{i}\right\}}\,.$

Diese Summe ist stets wieder ein Untervektorraum. Bei

${}V=U_{1}+\cdots +U_{n}\,$

sagt man, dass ${}V$ die Summe der Untervektorräume ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ ist. Der folgende Satz drückt eine wichtige Beziehung zwischen der Dimension der Summe von zwei Untervektorräumen und der Dimension ihres Durchschnitts aus.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume.

Dann ist

${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right)=\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}+U_{2}\right)\,.$

Beweis

Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{k}$ eine Basis von ${}U_{1}\cap U_{2}$. Diese ergänzen wir gemäß Fakt einerseits zu einer Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}U_{1}$ und andererseits zu einer Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{k},v_{1},\ldots ,v_{m}$ von ${}U_{2}$. Dann ist

$w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n},v_{1},\ldots ,v_{m}$

ein Erzeugendensystem von ${}U_{1}+U_{2}$. Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu

${}a_{1}w_{1}+\cdots +a_{k}w_{k}+b_{1}u_{1}+\cdots +b_{n}u_{n}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{m}v_{m}=0\,.$

Daraus ergibt sich, dass das Element

$a_{1}w_{1}+\cdots +a_{k}w_{k}+b_{1}u_{1}+\cdots +b_{n}u_{n}=-c_{1}v_{1}-\cdots -c_{m}v_{m}\,$

zu ${}U_{1}\cap U_{2}$ gehört. Daraus folgt direkt ${}b_{i}=0$ für ${}i=1,\ldots ,n$ und ${}c_{j}=0$ für ${}j=1,\ldots ,m$. Somit ergibt sich dann auch ${}a_{\ell }=0$ für alle ${}\ell$. Also liegt lineare Unabhängigkeit vor. Insgesamt ist also

${}{\begin{aligned}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}+U_{2}\right)&=k+k+n+m\\&=k+n+k+m\\&=\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right).\end{aligned}}$

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Der Durchschnitt von zwei Ebenen im ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist „im Normalfall“ eine Gerade, und die Ebene selbst, wenn zweimal die gleiche Ebene genommen wird, aber niemals nur ein Punkt. Diese Gesetzmäßigkeit kommt in der folgenden Aussage zum Ausdruck.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$ und es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension ${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)=n-k_{1}$ bzw. ${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right)=n-k_{2}$.

Dann ist

${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)\geq n-k_{1}-k_{2}\,.$

Beweis

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)&=\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}+U_{2}\right)\\&=n-k_{1}+n-k_{2}-\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}+U_{2}\right)\\&\geq n-k_{1}+n-k_{2}-n\\&=n-k_{1}-k_{2}.\end{aligned}}$

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Übrigens nennt man zu einem Untervektoraum ${}U\subseteq V$ die Differenz ${}\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}$ auch die Kodimension von ${}U$ in ${}V$. Mit diesem Begriff kann man die obige Aussage so formulieren, dass die Kodimension eines Durchschnitts von Untervektorräumen höchstens gleich der Summe der beiden Kodimensionen ist.

Korollar

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus ${}k$ Gleichungen in ${}n$ Variablen gegeben.

Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich ${}n-k$.

Beweis

Der Lösungsraum einer linearen Gleichung in ${}n$ Variablen besitzt die Dimension ${}n-1$ oder ${}n$. Der Lösungsraum des Systems ist der Durchschnitt der Lösungsräume der einzelnen Gleichungen. Daher folgt die Aussage durch mehrfache Anwendung von Fakt auf die einzelnen Lösungsräume.

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