Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl ${}L\geq 0$ mit

${}\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert \,$

für alle ${}t\in I$ und ${}u,v\in U$ gibt.

Die reelle Zahl ${}L$ nennt man auch eine Lipschitz-Konstante für das Vektorfeld ${}f$.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt ${}(t,v)\in I\times U$ eine offene Umgebung

${}(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times U\,$

derart gibt, dass das auf ${}I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Lemma

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$

ein Vektorfeld auf ${}U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach ${}v_{j}$ existieren und stetig sind.

Dann genügt ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.

Beweis

Sei ${}P=(t,v)=(t,v_{1},\ldots ,v_{n})$

ein Punkt in ${}I\times U$ und sei

$U{\left(t,\epsilon \right)}\times U{\left(v,\epsilon \right)}$

eine offene Umgebung von ${}P$ innerhalb von ${}I\times U$ derart, dass auch

${}B=B\left(t,\epsilon \right)\times B\left(v,\epsilon \right)\subseteq I\times U\,$

ist. Dieses ${}B$ ist eine abgeschlossene Umgebung von ${}P$ und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}$ nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt eine gemeinsame Schranke ${}c\in \mathbb {R}$ mit

${}\Vert {{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)}\Vert \leq c\,$

für alle ${}Q\in B$. Daher gibt es für die Matrizen ${}{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ eine Schranke ${}L$ mit

${}\Vert {{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}}\Vert \leq L\,.$

Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt ${}s\in U{\left(t,\epsilon \right)}$ Fakt anwenden und erhält für ${}u,u'\in U{\left(v,\epsilon \right)}$ die Abschätzung

${}\Vert {f(s,u)-f(s,u')}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-u'}\Vert \,.$

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