Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl gibt mit

für alle und .

Die reelle Zahl nennt man auch eine Lipschitz-Konstante für das Vektorfeld .


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung

derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.



Lemma  

Es sei ein reelles offenes Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf derart, dass die partiellen Ableitungen nach existieren und stetig sind.

Dann genügt lokal einer Lipschitz-Bedingung.

Beweis  

Sei ein Punkt in und sei
eine offene Umgebung von innerhalb von derart, dass auch

ist. Dieses ist eine abgeschlossene Umgebung von und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt eine gemeinsame Schranke mit

für alle . Daher gibt es für die Matrizen eine Schranke mit

Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt Fakt anwenden und erhält für die Abschätzung