Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V,W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$ mit Skalarprodukten und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ eine Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

Eine Isometrie ist stets injektiv. Bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ spricht man auch von unitären Abbildungen. In Abgrenzung zu affinen Isometrien, die wir später behandeln werden, spricht man auch von linearen Isometrien.

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle ${}u,v\in V$ ist ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$.
3. Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$.
4. Für alle ${}v\in V$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist auch ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.

Beweis

Die Richtungen ${}(1)\Rightarrow (2)$, ${}(2)\Rightarrow (3)$ und ${}(3)\Rightarrow (4)$ sind Einschränkungen. ${}(4)\Rightarrow (3)$. Für den Nullvektor ist die Aussage ${}(3)$ klar, sei also ${}v\neq 0$. Dann besitzt ${}{\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ die Norm ${}1$ und wegen

${}\varphi (v)=\varphi {\left(\Vert {v}\Vert {\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}=\Vert {v}\Vert \varphi {\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}\,$

ist

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert \,.$

${}(3)\Rightarrow (1)$ folgt aus Fakt.

$\Box$

Eine Isomorphie ist also einfach eine abstandserhaltende (lineare) Abbildung. Die Menge der Vektoren mit Norm ${}1$ in einem euklidischen Vektorraum nennt man auch die Sphäre. Eine Isometrie lässt sich also dadurch charakterisieren, dass unter ihr die Sphäre in die Sphäre abgebildet wird.

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Zu jedem euklidischen Vektorraum ${}V$

gibt es eine bijektive Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,$

wobei ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen sei.

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$

die durch

${}\varphi (e_{i})=u_{i}\,$

festgelegte lineare Abbildung. Nach Fakt  (3) ist dies eine Isometrie.

$\Box$