Vorkurs/Mathematik/1/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 4 | 4 | 1 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 1 | 1 | 3 | 2 | 4 | 3 | 5 | 5 | 4 | 5 | 65 |
Aufgabe * (4 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Quadratzahl.
- Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
- Der Umkreis eines Dreiecks.
- Ein Primzahlzwilling.
- Zwei teilerfremde natürliche Zahlen und .
- Eine rationale Zahl.
- Ein Prozent.
- Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
- Eine Zahl der Form mit heißt Quadratzahl.
- Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
- Der Umkreis ist derjenige (eindeutig bestimmte) Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen.
- Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus und , wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
- Die beiden natürlichen Zahlen und heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
- Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.
- Ein Prozent ist .
- Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Strahlensatz (eine beliebige Version).
- Der Satz des Pythagoras.
- Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
- Die
Produktregel
für differenzierbare Funktionen
- Wenn zwei parallele Geraden durch eine Schar aus zwei Geraden geschnitten wird, so stimmen die Schnittverhältnisse überein.
- In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
- Jede natürliche Zahl , , besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
- Das Produkt ist ebenfalls differenzierbar und es gilt
Aufgabe * (1 Punkt)
In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.
Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?
- Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
- Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
- Linda engagiert sich bei Attac.
(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.
Aufgabe * (2 Punkte)
Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?
Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim). Die U-Bahnen nach Konsau fahren also etc. ab.
Aufgabe * (4 Punkte)
Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?
Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
und mit BC50 hat man die Kosten
Die Bedingung
führt auf
Die Bedingung
führt auf
Die Bedingung
führt auf
also
Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.
Aufgabe * (3 Punkte)
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?
Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
und
Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
und damit
Daraus ergibt sich
und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die dritte binomische Formel für zwei reelle Zahlen und beweise die Formel mit Hilfe des Distributivgesetzes.
Es ist
für reelle Zahlen .
Dies ergibt sich durch zweifache Anwendung des Distributivgesetzes und mit dem Kommutativgesetz wie folgt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.
Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form und mit . Ihre Differenz ist
Dies ist eine ungerade Zahl. Umgekehrt kann man eine ungerade Zahl als mit schreiben, und die Gleichungskette zeigt, dass die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise durch Induktion für alle die Formel
Induktionsanfang. Für kommt links nur der Summand zu vor, und dieser ist
Rechts steht ebenfalls
Induktionsschluss. Die Aussage sei für bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für . Es ist
Also gilt die Aussage für alle .
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach Fakt geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.
Aufgabe * (1 Punkt)
Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .
Es ist
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Es ist
Aufgabe * (3 Punkte)
Karl trinkt eine Flasche Bier ( Liter) mit einem Alkoholgehalt von Prozent. Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?
In der Flasche befindet sich
Alkohol. Somit gehen
in sein Blut. Der Anteil ist daher
Das sind Prozent bzw. Promille.
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.
Multiplikation liefert
Daher ist
und damit ist
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit
a) Es ist
daher ist
und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen und und . Die Summe ist
c) Wir setzen
diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt
Mit ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.
Aufgabe * (3 Punkte)
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
Die Formel für lautet
Daher ist
Somit ist
Schließlich ist
Aufgabe * (5 Punkte)
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
Es ist
vorausgesetzt, der Wurzelausdruck ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung
ist äquivalent zu
was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu
ist. Umstellen und Erweitern liefert
Dies ist äquivalent zu
und somit zu
Aufgabe * (5 Punkte)
Für ist nach der Kettenregel
Zum Induktionsschluss sei die Aussage für Funktionen schon bewiesen, und seien Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)
Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius und ein gegeben.
a) Beschreibe den oberen Kreisbogen als Graph einer Funktion
b) Für welches verläuft die Tangente durch den Punkt durch den Punkt ?
a) Der obere Kreisbogen wird für () durch die Funktion
beschrieben.
b) Die Ableitung von ist
bzw. auf
Daher ist
Aufgabe * (5 Punkte)
Der Graph der Funktion
und die -Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.
Es ist
die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls . Eine Stammfunktion von ist
und somit ist
Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus
zu
Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt
Die Bedingung
führt auf
und damit auf
Also ist