Vorkurs/Mathematik/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 4 4 1 2 3 3 3 3 4 4 1 1 3 2 4 3 5 5 4 5 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Quadratzahl.
  2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
  3. Der Umkreis eines Dreiecks.
  4. Ein Primzahlzwilling.
  5. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen und .
  6. Eine rationale Zahl.
  7. Ein Prozent.
  8. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .

Lösung

  1. Eine Zahl der Form mit heißt Quadratzahl.
  2. Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
  3. Der Umkreis ist derjenige (eindeutig bestimmte) Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen.
  4. Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus und , wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
  5. Die beiden natürlichen Zahlen und heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
  6. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

    wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.

  7. Ein Prozent ist .
  8. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Strahlensatz (eine beliebige Version).
  2. Der Satz des Pythagoras.
  3. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
  4. Die Produktregel für differenzierbare Funktionen

Lösung

  1. Wenn zwei parallele Geraden durch eine Schar aus zwei Geraden geschnitten wird, so stimmen die Schnittverhältnisse überein.
  2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
  3. Jede natürliche Zahl , , besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
  4. Das Produkt ist ebenfalls differenzierbar und es gilt


 

Aufgabe * (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

  1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  3. Linda engagiert sich bei Attac.

Lösung

(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim). Die U-Bahnen nach Konsau fahren also etc. ab.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?

Lösung

Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

und mit BC50 hat man die Kosten

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

also

Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?

Lösung

Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt

und

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man

und damit

Daraus ergibt sich

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die dritte binomische Formel für zwei reelle Zahlen und beweise die Formel mit Hilfe des Distributivgesetzes.

Lösung

Es ist

für reelle Zahlen .

Dies ergibt sich durch zweifache Anwendung des Distributivgesetzes und mit dem Kommutativgesetz wie folgt.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.

Lösung

Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form und mit . Ihre Differenz ist

Dies ist eine ungerade Zahl. Umgekehrt kann man eine ungerade Zahl als mit schreiben, und die Gleichungskette zeigt, dass die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle die Formel

Lösung

Induktionsanfang. Für kommt links nur der Summand zu vor, und dieser ist

Rechts steht ebenfalls

Induktionsschluss. Die Aussage sei für bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für . Es ist

Also gilt die Aussage für alle .


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.


 

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier ( Liter) mit einem Alkoholgehalt von Prozent. Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?

Lösung

In der Flasche befindet sich

Alkohol. Somit gehen

in sein Blut. Der Anteil ist daher

Das sind Prozent bzw. Promille.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist:

Lösung

Multiplikation liefert

Daher ist

und damit ist


 

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit

Lösung

a) Es ist

daher ist

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen und und . Die Summe ist

c) Wir setzen

diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt

Mit ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Lösung

Die Formel für lautet

Daher ist

Somit ist

Schließlich ist


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .

Lösung

Es ist

vorausgesetzt, der Wurzelausdruck ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung

ist äquivalent zu

was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu

ist. Umstellen und Erweitern liefert

Dies ist äquivalent zu

und somit zu


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung

Lösung

Für ist nach der Kettenregel

Zum Induktionsschluss sei die Aussage für Funktionen schon bewiesen, und seien Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung


 

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius und ein gegeben.

a) Beschreibe den oberen Kreisbogen als Graph einer Funktion

b) Für welches verläuft die Tangente durch den Punkt durch den Punkt ?

Lösung

a) Der obere Kreisbogen wird für () durch die Funktion

beschrieben.

b) Die Ableitung von ist

Die Steigung der Geraden durch und wird durch
beschrieben. Dies führt auf die Bedingung

bzw. auf

Daher ist


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Der Graph der Funktion

und die -Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.

Lösung

Es ist

die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls . Eine Stammfunktion von ist

und somit ist

Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus

zu

Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt

Die Bedingung

führt auf

und damit auf

Also ist


 

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