Zahlbereich/Beträge/Körpererweiterung/Textabschnitt
Zu einer endlichen Körpererweiterung und einem Betrag nennt man den Grad der Körpererweiterung der Komplettierungen den lokalen Grad in .
Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal (aus dem Zahlbereich zu ) über ist das Produkt aus Trägheitsgrad, also dem Grad der Körpererweiterung
und dem Verzweigungsindex von
Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad im reellen und im komplexen Fall.
Es seien endliche Körpererweiterungen und es sei ein Betrag.
Dann gilt für die Beträge aus oberhalb von die Gleichung
Wir betrachten zuerst den nichtarchimedischen Fall, es sei also die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche und es sei ein maximales Ideal von und seien die Primideale oberhalb von . Es seien Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von über
bzw. von über . Dann sind die Verzweigungsindexe bzw. Trägheitsgrade von über gleich bzw. . Daher ist
unter Verwendung von Fakt.
Es sei ein Zahlkörper. die Menge der standardisierten Beträge auf .
Dann gilt
für alle , , wobei den lokalen Grad bezeichnet.