Zahlbereich/Beträge/Körpererweiterung/Textabschnitt

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Definition  

Zu einer endlichen Körpererweiterung und einem Betrag nennt man den Grad der Körpererweiterung der Komplettierungen den lokalen Grad in .

Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal (aus dem Zahlbereich zu ) über ist das Produkt aus Trägheitsgrad, also dem Grad der Körpererweiterung

und dem Verzweigungsindex von

Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad im reellen und im komplexen Fall.



Satz  

Es seien endliche Körpererweiterungen und es sei ein Betrag.

Dann gilt für die Beträge aus oberhalb von die Gleichung

Beweis  

Wir betrachten zuerst den nichtarchimedischen Fall, es sei also die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche und es sei ein maximales Ideal von und seien die Primideale oberhalb von . Es seien Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von über

bzw. von über . Dann sind die Verzweigungsindexe bzw. Trägheitsgrade von über gleich bzw. . Daher ist

unter Verwendung von Fakt.




Satz  

Es sei ein Zahlkörper. die Menge der standardisierten Beträge auf .

Dann gilt

für alle , , wobei den lokalen Grad bezeichnet.

Beweis  

Wir können annehmen. Es sei

Es gilt

nach Fakt und Fakt. Es ist (vergleiche Bemerkung)

Nach Fakt ist aber auch

wobei die verschiedenen reellen und komplexen Einbettungen von durchläuft.