Zahlbereich/Differentiale/Verzweigung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein vollkommener Körper und ${}A$ eine lokale endlichdimensionale ${}K$-Algebra.

Dann ist ${}A$ genau dann reduziert (also ein Körper) wenn der Modul der Kählerdifferentiale ${}\Omega _{A{|}K}$ gleich ${}0$ ist.

Beweis

Wenn ${}A$ reduziert ist, so liegt eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq A$ vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers separabel ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir ${}A=K[x]=K[X]/(F)$. Nach Fakt erzeugen ${}F$ und ${}F'$ das Einheitsideal und somit folgt aus ${}F'(x)dx=0$, dass sogar ${}dx=0$ ist. Somit folgt die Aussage aus Fakt.

Es sei nun angenommen, dass ${}A$ nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da ${}A$ eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit ${}x\in A$, ${}x\notin K$, ist ${}K[x]$ ein Erweiterungskörper von ${}K$. Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen Fakt annehmen, dass nur die Elemente aus ${}K\setminus {0}$ Einheiten in ${}A$ sind. Dann ist

${}A=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$

und die ${}x_{i}$ gehören zum maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Indem wir die Restklassenabbildung

$A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}^{2}$

betrachten und Fakt heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation

${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{i}X_{j},\,1\leq i\leq j\leq n)\,$

vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger ${}x_{1}\neq 0$ ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo ${}(x_{2},\ldots ,x_{n})$ gehen und erhalten die Situation ${}K[X]/(X^{2})$. Dafür zeigt Fakt, dass ${}dx\neq 0$ ist.

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Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist die Ringerweiterung ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ in einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ genau dann verzweigt, wenn

${}{\left(\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\right)}_{\mathfrak {q}}\neq 0\,$

ist.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {q}}$, und wir können wegen Fakt direkt zu

$B=\mathbb {Z} _{\mathfrak {p}}\longrightarrow A=R_{\mathbb {Z} \setminus {\mathfrak {p}}}$

übergehen. Die Bedingung

${}{\left(\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\right)}_{\mathfrak {q}}={\left(\Omega _{A{|}B}\right)}_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\neq 0\,$

ist äquivalent zu

${}\Omega _{A{|}B}\otimes _{A}A/{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}\neq 0\,,$

da ja ${}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}$ ein endlicher erzeugter ${}A_{\mathfrak {q}}$-Modul über dem lokalen Ring ${}A_{\mathfrak {q}}$ ist. Wegen der natürlichen Surjektion

$A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\longrightarrow A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}$

ist dies auch äquivalent zu

${}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\neq 0\,.$

Nach Fakt angewendet auf

${\begin{matrix}A_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}&\\\uparrow &&\uparrow &\\B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&B/{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist

${}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}{|}B/{\mathfrak {p}}}\,$

und dies ist die Lokalisierung von ${}\Omega _{A/{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ an ${}{\mathfrak {q}}$. Somit ist die Lokalisierung von ${}\Omega _{A{|}B}$ an ${}{\mathfrak {q}}$ genau dann von ${}0$ verschieden, wenn ${}\Omega _{A/A{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ lokalisiert an ${}{\mathfrak {q}}$ von ${}0$ verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ ab. Nach (dem Beweis zu) Fakt liegt in ${}{\mathfrak {q}}$ genau dann Verzweigung vor, wenn ${}R/{\mathfrak {q}}=A/{\mathfrak {q}}$ nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$