Zahlbereich/Ideal/Norm/Textabschnitt

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Definition  

Zu einem Ideal in einem Zahlbereich heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes die Norm von . Sie wird mit

bezeichnet.




Lemma  

Es sei ein Ideal in einem Zahlbereich .

Dann ist .

Beweis  

Wir betrachten die Abbildung

Der Ring rechts hat nach Definition Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung.




Lemma  

Es sei ein Zahlbereich und , .

Dann ist der Betrag der Norm von gleich der Norm des Hauptideals .

Beweis  

Das Hauptideal ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus

Dieser wird unter einer Identifizierung (also der Wahl einer Ganzheitsbasis von ) durch die zu gehörende Multiplikationsmatrix beschrieben. Deren Determinante ist die Norm von , und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus Fakt.




Korollar  

Es sei ein Element in einem Zahlbereich .

Dann ist .

Insbesondere ist bei .

Beweis  

Dies folgt aus Fakt und Fakt, angewendet auf das Hauptideal .




Lemma  

Es sei der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung und sei .

Dann gibt es endlich viele Elemente derart, dass jedes mit zu einem der assoziiert ist.

Beweis  

Der Restklassenring ist endlich nach Fakt und Fakt. Wir behaupten, dass Elemente aus einer Nebenklasse zu , die beide die Norm besitzen, zueinander assoziiert sind. Seien dazu mit

und mit . Dann ist

und dies gehört zu , da nach Fakt zu gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von und vertauscht. Also eilen sich und gegenseitig und sind daher assoziiert.