Zahlbereich/Ideal/Norm/Textabschnitt

Definition

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$ heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes ${}R/{\mathfrak {a}}$ die Norm von ${}{\mathfrak {a}}$. Sie wird mit

$N{\left({\mathfrak {a}}\right)}$

bezeichnet.

Beispiel

Zu einem von ${}0$ verschiedenen Ideal ${}(n)\subseteq \mathbb {Z}$ mit ${}n>0$ ist die Norm einfach gleich ${}n$, da ja der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ genau ${}n$ Elemente besitzt.

Lemma

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in einem Zahlbereich ${}R$.

Dann ist ${}N({\mathfrak {a}})\in {\mathfrak {a}}$.

Beweis

Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.$

Der Ring rechts hat nach Definition ${}N({\mathfrak {a}})$ Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung.

$\Box$

Die Norm eines Ideals berechnet man am besten, indem man nach und nach den Restklassenring vereinfacht. Ein entscheidender Schritt ist dabei, eine ganze Zahl ${}n\neq 0$ in dem Ideal zu finden, da man dann über dem endlichen Ring ${}\mathbb {Z} /(n)$ arbeiten und weiter vereinfachen kann. Dieses Verfahren hilft aufgrund der folgenden Aussage auch bei der Berechnung der Norm von Elementen.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$.

Dann ist der Betrag der Norm von ${}f$ gleich der Norm des Hauptideals ${}fR$.

Beweis

Das Hauptideal ${}Rf$ ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,1\longmapsto f.$

Dieser wird unter einer Identifizierung ${}R=\mathbb {Z} ^{n}$ (also der Wahl einer Ganzheitsbasis von ${}R$) durch die zu ${}f$ gehörende Multiplikationsmatrix ${}M_{f}$ beschrieben. Es liegt insgesamt dias kommutative Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {\mu _{f}}{\longrightarrow }}&R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/fR&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {M_{f}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}/\operatorname {bild} M_{f}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

mit vertikalen Isomorpien vor. Die Determinante von ${}M_{f}$ ist die Norm von ${}f$, und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe ${}R/fR$ ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus Fakt.

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Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu ${}D=-5$ das Ideal

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die Norm dieses Ideals gleich ${}2$ ist. Wäre nämlich ${}{\mathfrak {p}}=(f)$ mit einem ${}f\in R$, so müsste nach Fakt auch

${}\vert {N(f)}\vert =2\,$

gelten. Allerdings ist die Norm von ${}f=a+b{\sqrt {-5}}$ gleich ${}N(f)=a^{2}+5b^{2}$ und dies kann nicht gleich ${}2$ sein.

Korollar

Es sei ${}f$ ein Element in einem Zahlbereich ${}R$.

Dann ist ${}N(f)\in fR$.

Insbesondere ist ${}{\frac {N(f)}{f}}\in R$ bei ${}f\neq 0$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, angewendet auf das Hauptideal ${}{\mathfrak {a}}=(f)$.

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Die Norm ${}R\rightarrow \mathbb {Z}$ hat die Eigenschaft, dass oberhalb von ${}1$ nur Einheiten liegen. Auch für die Elemente aus ${}R$, deren Norm gleich einer fixierten ganzen Zahl ${}a$ ist, gibt es eine wichtige Gesetzmäßigkeit.

Lemma

Es sei ${}R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ und sei ${}a\in \mathbb {Z}$.

Dann gibt es endlich viele Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{m}\in R$ derart, dass jedes ${}f\in R$ mit ${}\vert {N(f)}\vert =a$ zu einem der ${}f_{i}$ assoziiert ist.

Beweis

Der Restklassenring ${}R/(a)$ ist endlich nach Fakt und Fakt. Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu ${}R/(a)$, die beide die Norm ${}a$ besitzen, zueinander assoziiert sind (für die ${}f_{j}$ wählen wir zu jeder Nebenklasse von ${}R/(a)$ einen Repräsentanten mit Norm ${}a$ aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt). Es seien dazu ${}f,g,h\in R$ mit

${}f=g+ah\,$

und mit ${}N(f)=N(g)=a$. Dann ist in ${}Q(R)$

${}{\frac {f}{g}}={\frac {g+ah}{g}}=1+a{\frac {h}{g}}=1+{\frac {N(g)}{g}}h\,$

und dies gehört zu ${}R$, da ${}{\frac {N(g)}{g}}$ nach Fakt zu ${}R$ gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von ${}f$ und ${}g$ vertauscht. Also teilen sich ${}f$ und ${}g$ gegenseitig und sind daher assoziiert.

$\Box$