Auflösbare Gruppe/Iterierte Kommutatorgruppen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Eine Gruppe heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

derart gibt, dass ein Normalteiler in ist und die Restklassengruppe abelsch ist (für jedes ).

Die in dieser Definition auftretende Filtrierung nennt man auch eine auflösende Filtrierung. Eine kommutative Gruppe ist natürlich auflösbar, wie die triviale Filtrierung zeigt. Die Permutationsgruppe ist auflösbar, wie die Untergruppe mit der Restklassengruppe zeigt.



Lemma  

Es sei eine auflösbare Gruppe.

Dann ist auch jede Untergruppe auflösbar.

Beweis  

Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung

aus, d.h., dass die Normalteiler in und die Restklassengruppen kommutativ sind. Die Untergruppe besitzt durch eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm

vor. Wir betrachten den Homomorphismus

Der Kern von ist offenbar . Daher ist nach Fakt ein Normalteiler in , und der Quotient ist nach Fakt eine Untergruppe von und damit kommutativ. Also bilden die eine auflösende Filtrierung von .




Lemma  

Es sei eine Gruppe, ein Normalteiler und die zugehörige Restklassengruppe.

Dann ist genau dann auflösbar, wenn dies für und gilt.

Beweis  

Sei zunächst auflösbar. Nach Fakt ist auflösbar.
Betrachten wir also die Restklassengruppe und fixieren wir eine auflösende Filtrierung

Es sei

der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen , dies ist eine Filtrierung von mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass ein Normalteiler in ist, und ziehen dazu Fakt heran. Sei also und , die wir durch bzw. repräsentieren. Dann ist und wegen der Normalität von in ist und somit . Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung

Da zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Fakt eine surjektive Abbildung

weshalb ebenfalls kommutativ ist.

Seien nun und auflösbar, sei der Restklassenhomomorphismus und seien

und

auflösende Filtrierungen. Wir ergänzen die Filtrierung von durch die Urbilder zu einer Filtrierung von . Die surjektive Abbildung

besitzt den Kern und zeigt, dass ein Normalteiler in mit kommutativer Restklassengruppe ist.


Die Definition einer auflösbaren Gruppe legt nicht nahe, wie man eine solche Filtrierung finden könnte. Ein systematischer Weg, eine solche Filtrierung zu finden, falls es denn eine gibt, wird durch iterierte Kommutatorgruppen gegeben. Ein Kommutator ist ein Element der Form .


Definition  

Zu einer Gruppe heißt die von allen Kommutatoren , , erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es sei eine Gruppe und ihre Kommutatorgruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. ist ein Normalteiler in .
  2. Die Restklassengruppe ist abelsch.
  3. Die Gruppe ist genau dann abelsch, wenn trivial ist.

Beweis  

(1). Es ist zu zeigen, dass für jedes der Automorphismus

die Untergruppe in sich selbst überführt. Für einen Kommutator ist

wieder ein Kommutator. Daher wird auch jedes Produkt von Kommutatoren auf ein Produkt von Kommutatoren abgebildet und somit ist .
(2). In der Restklassengruppe ist


(3). Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn sämtliche Kommutatoren trivial sind.



Definition  

Es sei eine Gruppe. Die -te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch

definiert.

Die erste Kommutatorgruppe ist einfach die Kommutatorgruppe, die zweite Kommutatorgruppe ist die Kommutatorgruppe der Kommutatorgruppe, u.s.w. Dies ergibt insgesamt eine absteigende Filtrierung

Diese Filtrierung kann unendlich absteigend sein oder aber stationär werden, d.h. es kann gelten. Die Auflösbarkeit einer Gruppe kann mit dieser Filtrierung folgendermaßen charakterisiert werden.



Lemma  

Eine Gruppe ist genau dann auflösbar,

wenn es ein derart gibt, dass die -te iterierte Kommutatorgruppe trivial wird.

Beweis  

Wenn die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird, sagen wir

so liegt unmittelbar eine auflösende Filtrierung vor, da ja

nach Fakt ein Normalteiler ist mit einer abelschen Restklassengruppe.
Sei nun auflösbar. Wir zeigen durch Induktion über die Anzahl der beteiligten Untergruppen in einer auflösenden Filtrierung von , dass die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird. Dabei sind die Fälle klar. Wir betrachten die Untergruppe in der Filtrierung. Da die Restklassengruppe kommutativ ist, wird die Kommutatorgruppe unter der Restklassenabbildung auf abgebildet und daher ist . Dabei besitzt natürlich eine auflösende Filtrierung mit Untergruppen, und der Beweis zu Fakt zeigt, dass dies auch für die Untergruppe gilt. Nach Induktionsvoraussetzung wird also die Filtrierung von durch die iterierten Kommutatorgruppen trivial.