Banachraum/Kompakter Operator/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq X$ eines topologischen Raumes ${}X$ heißt relativ kompakt, wenn der Abschluss ${}{\overline {T}}$ kompakt ist.

Definition

Eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ zwischen metrischen Räumen ${}M$ und ${}N$ heißt kompakt, wenn für jede beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq M$ das Bild ${}\varphi (T)$ relativ kompakt in ${}N$ ist.

Lemma

Es seien ${}V,W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist kompakt.
2. Das Bild der (offenen oder abgeschlossenen) Einheitskugel von ${}V$ ist relativ kompakt in ${}W$.
3. Jede beschränkte Folge in ${}V$ besitzt eine Teilfolge, deren Bildfolge in ${}W$ konvergiert.

Beweis

Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge ${}T$ ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nach Fakt ebenfalls kompakt, es gilt also (1).

Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in ${}V$ gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von ${}W$ und besitzt nach Fakt (für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie) eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).

Es sei nun (3) erfüllt und ${}T\subseteq V$ beschränkt. Es ist die Kompaktheit von ${}\varphi (T)$ zu zeigen. Es sei ${}w_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge in ${}\varphi (T)$. Es gibt dann eine Folge ${}v_{n}\in T$ mit

${}d{\left(\varphi (v_{n}),w_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}\,.$

Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge ${}v_{n_{k}}$ derart, dass ${}\varphi (v_{n_{k}})$ gegen ein Element ${}w\in {\overline {\varphi (T)}}$ konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge ${}w_{n_{k}}$ gegen ${}w$.

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