Dedekindbereich/Differentiale/Verzweigung/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein vollkommener Körper und eine lokale endlichdimensionale -Algebra.

Dann ist genau dann reduziert (also ein Körper) wenn der Modul der Kählerdifferentiale gleich ist.

Beweis  

Wenn reduziert ist, so liegt eine endliche Körpererweiterung vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers separabel ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir . Nach Fakt erzeugen und das Einheitsideal und somit folgt aus , dass sogar ist. Somit folgt die Aussage aus Fakt.

Sei nun angenommen, dass nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit , , ist ein Erweiterungskörper von . Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen Fakt annehmen, dass nur die Elemente aus Einheiten in sind. Dann ist

und die gehören zum maximalen Ideal . Indem wir die Restklassenabbildung

betrachten und Fakt heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation

vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo gehen und erhalten die Situation . Dafür zeigt Fakt, dass ist.




Satz  

Es sei eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und sei . Die Restekörper von an maximalen Idealen seien vollkommen.

Dann ist die Erweiterung genau dann in verzweigt, wenn

ist.

Beweis  

Es sei , und wir können wegen Fakt direkt zu

übergehen. Die Bedingung

ist äquivalent zu

da ja ein endlicher erzeugter -Modul über dem lokalen Ring ist. Wegen der natürlichen Surjektion

ist dies auch äquivalent zu

Nach Fakt angewendet auf

ist

und dies ist die Lokalisierung von an . Somit ist die Lokalisierung von an genau dann von verschieden, wenn lokalisiert an von verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ab. Nach (dem Beweis zu) Fakt liegt in genau dann Verzweigung vor, wenn nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.