Differentialformen und Orientierung/Textabschnitt

Lemma

Es sei $M$ eine $m$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf $M$.

Dann gibt es einen (diffeomorph-äquivalenten) orientierten Atlas für $M$ derart, dass $\omega$ eine positive Volumenform bezüglich dieses Atlases wird.

Insbesondere ist $M$ orientierbar.

Beweis

Zu  $P\in M$  betrachtet man Kartengebiete  $P\in U$  mit der Eigenschaft, dass $U$ homöomorph zu einem offenen Ball  $V\subseteq {ℝ}^m$  ist. Es ist

$\stackrel{m}{\bigwedge }TU\cong \stackrel{m}{\bigwedge }TV\cong V\times \stackrel{m}{\bigwedge }{ℝ}^m\cong V\times ℝ$

mittels $\stackrel{m}{\bigwedge }T(\alpha )$. Dabei ist die hintere Isomorphie durch die Standardbasis mit den Koordinaten $x_1,\dots ,x_m$ gegeben. Es sei  ${\alpha }_{\ast }\omega =fd{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_m$  die zugehörige $1$-Differentialform auf $V$. Diese Form ist nullstellenfrei, und da $V$ zusammenhängend ist, ist $f$ nach dem Zwischenwertsatz positiv oder negativ. Im negativen Fall ersetzen wir die Karte, indem wir ein Basiselement durch sein Negatives ersetzen. Dadurch gewinnen wir für jeden Punkt eine Kartenumgebung, auf der die Form positiv ist. Zu zwei Karten $\alpha :U\to V$ und $\beta :U\to V^{\prime }$ mit der Übergangsabbildung  $\psi =\beta \circ {\alpha }^{-1}$  und den lokalen Beschreibungen ${\alpha }_{\ast }\omega =fd{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_m$ und ${\beta }_{\ast }\omega =gd{y}_1\wedge \dots \wedge d{y}_m$ gilt dann wegen  ${\psi }^{\ast }({\beta }_{\ast }\omega )={\alpha }_{\ast }\omega$  nach Fakt die Beziehung  $f=g\circ \psi det\left(D\psi \right)$.  Da $f$ und $g$ positiv sind, muss auch die Determinante positiv sein, sodass die Übergangsabbildung orientierungstreu und die Mannigfaltigkeit somit orientiert ist.

$◻$

Korollar

Es sei  $G\subseteq {ℝ}^n$  offen und sei

$\phi :G⟶{ℝ}^{\ell }$

(mit $m=n-\ell \ge 0$) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser $M$ über  $0\in {ℝ}^{\ell }$  regulär sei.

Dann ist die Abbildung

$\stackrel{m}{\bigwedge }{T}_{P}M⟶ℝ,v_1\wedge \dots \wedge v_m⟼det(\mathrm{Grad}{\phi }_1(P),\dots ,\mathrm{Grad}{\phi }_{\ell }(P),v_1,\dots ,v_m),$

in jedem Punkt  $P\in M$  eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf $M$ gegeben ist.

Beweis

Bei dieser Abbildung werden die Vektoren  $v_i\in T_{P}M\subseteq T_P{ℝ}^n={ℝ}^n$  und die Gradienten als Vektoren in ${ℝ}^n$ aufgefasst. Nach Aufgabe und nach Fakt ist die Abbildung wohldefiniert und linear. Der Ausgangsraum der Abbildung ist wie der Zielraum eindimensional. Es sei $v_1,\dots ,v_m$ eine Basis von

$T_{P}M=\mathrm{kern}{\left(D\phi \right)}_P=(\mathrm{Grad}{\phi }_1(P),\dots ,\mathrm{Grad}{\phi }_{\ell }(P){)}^{\perp }.$

Da die Abbildung regulär ist, sind die Gradienten untereinander linear unabhängig, und wegen der Orthogonalitätsbeziehung erst recht linear unabhängig zu den $v_i$. Daher liegt insgesamt eine Basis des ${ℝ}^n$ vor, sodass nach Fakt die Determinante $\ne 0$ ist. Die Abhängigkeit dieser Volumenform vom Basispunkt $P$ ist stetig, wie aus der Stetigkeit der Gradienten, der Stetigkeit der Determinante und dem Satz über implizite Abbildungen folgt.

$◻$