Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch ${}P$ an ${}Y$. Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve ${}Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt ${}P$.
2. Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   eine orientierte Karte mit

   ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

   offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$. Dann ist

   ${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

   Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

   ${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

3. Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$. Dann ist

   ${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

Zur gelösten Aufgabe