Differenzierbare Hyperfläche/Gauß-Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf $Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung

$Y⟶S^{n-1},$

die jeden Punkt  $P\in Y$  auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu $Y$.

Im Allgemeinen denken wir uns Tangentialvektoren und Normalenvektoren an den Punkt  $P\in Y$  angeheftet, hier ist es aber wichtig, den Normalenvektor als einen Punkt auf der „neutralen“ $n-1$- dimensionalen Sphäre zu betrachten. Die Gauß-Abbildung eröffnet eine Möglichkeit, eine beliebige glatte Hyperfläche mit der besonders einfachen Hyperfläche, nämlich der Kugeloberfläche, in Beziehung zu setzen.

Lemma

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf $Y$ fixiert. Dann gelten für die Gauß-Abbildung folgende Aussagen.

1. Die Gauß-Abbildung ist stetig.
2. Bei  $Y=S^{n-1}$  ist die Gauß-Abbildung (wenn die Orientierung nach außen zeigt) die Identität oder die antipodale Abbildung.
3. Wenn $Y$ zusammenhängend ist, so sind die Gauß-Abbildungen zu den beiden Orientierungen antipodal zueinander.
4. Sei $Y$ zusammenhängend. Dann ist die Gauß-Abbildung genau dann konstant, wenn $Y$ ein offener Ausschnitt aus einem affin-linearen Unterraum der Dimension $n-1$ ist.

Beweis

1. Dies folgt aus Fakt.
2. Klar.
3. Klar.
4. Die Rückrichtung ist klar. Zum Beweis der Hinrichtung sei der Einheitsnormalenvektor konstant gleich

   $v=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right).$

   Dann ist

   $\mathrm{Grad}h(P)=g(P)v$

   mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion $g:Y\to ℝ$. Wir können $h$ durch $\frac{h}{\Vert h\Vert }$ ersetzen ohne $Y$ zu verändern. Dann ist nach Fakt

   $\mathrm{Grad}h(P)=\pm v$

   und daher

   $h(x_1,\dots ,x_n)=\pm \sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i.$

   Die Faser zu $h$ auf ganz ${ℝ}^n$ ist ein affin-linearer Untervektorraum.

$◻$

Satz

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Teilmenge und sei

$h:W⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser  $Y=h^{-1}(c)$  von $h$ zu  $c\in ℝ$  sei kompakt und in jedem Punkt regulär.

Dann ist die Gauß-Abbildung

$Y⟶S^{n-1}$

surjektiv.

Beweis

Ein Einheitsnormalenvektor beschreibt über die Orthogonalitätsrelation eine Hyperebene, also einen $n-1$-dimensionalen Untervektorraum, wobei auch der negierte Einheitsnormalenvektor die gleiche Hyperebene beschreibt. Fakt zeigt, dass jede Hyperebene als ein Tangentialraum von $Y$ auftritt. Der Beweis von Fakt zeigt aber ferner (wenn man dort neben dem Maximum auch das Minimum betrachtet), dass beide Normaleneinheitsvektoren auftreten.

$◻$