Differenzierbare Hyperfläche/Gauß-Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf ${}Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung

$Y\longrightarrow S^{n-1},$

die jeden Punkt ${}P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu ${}Y$.

Im Allgemeinen denken wir uns Tangentialvektoren und Normalenvektoren an den Punkt ${}P\in Y$ angeheftet, hier ist es aber wichtig, den Normalenvektor als einen Punkt auf der „neutralen“ ${}n-1$- dimensionalen Sphäre zu betrachten. Die Gauß-Abbildung eröffnet eine Möglichkeit, eine beliebige glatte Hyperfläche mit der besonders einfachen Hyperfläche, nämlich der Kugeloberfläche, in Beziehung zu setzen.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf ${}Y$ fixiert. Dann gelten für die Gauß-Abbildung folgende Aussagen.

1. Die Gauß-Abbildung ist stetig.
2. Bei ${}Y=S^{n-1}$ ist die Gauß-Abbildung (wenn die Orientierung nach außen zeigt) die Identität oder die antipodale Abbildung.
3. Wenn ${}Y$ zusammenhängend ist, so sind die Gauß-Abbildungen zu den beiden Orientierungen antipodal zueinander.
4. Sei ${}Y$ zusammenhängend. Dann ist die Gauß-Abbildung genau dann konstant, wenn ${}Y$ ein offener Ausschnitt aus einem affin-linearen Unterraum der Dimension ${}n-1$ ist.

Beweis

1. Dies folgt aus Fakt.
2. Klar.
3. Klar.
4. Die Rückrichtung ist klar. Zum Beweis der Hinrichtung sei der Einheitsnormalenvektor konstant gleich

   ${}v={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$

   Dann ist

   ${}\operatorname {Grad} \,h(P)=g(P)v\,$

   mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion ${}g\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$. Wir können ${}h$ durch ${}{\frac {h}{\Vert {h}\Vert }}$ ersetzen ohne ${}Y$ zu verändern. Dann ist nach Fakt

   ${}\operatorname {Grad} \,h(P)=\pm v\,$

   und daher

   ${}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=\pm \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\,.$

   Die Faser zu ${}h$ auf ganz ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist ein affin-linearer Untervektorraum.

$\Box$

Satz

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

$h\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser ${}Y=h^{-1}(c)$ von ${}h$ zu ${}c\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär.

Dann ist die Gauß-Abbildung

$Y\longrightarrow S^{n-1}$

surjektiv.

Beweis

Ein Einheitsnormalenvektor beschreibt über die Orthogonalitätsrelation eine Hyperebene, also einen ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraum, wobei auch der negierte Einheitsnormalenvektor die gleiche Hyperebene beschreibt. Fakt zeigt, dass jede Hyperebene als ein Tangentialraum von ${}Y$ auftritt. Der Beweis von Fakt zeigt aber ferner (wenn man dort neben dem Maximum auch das Minimum betrachtet), dass beide Normaleneinheitsvektoren auftreten.

$\Box$