Dualraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

V^{*} = {Hom}_{K} (V, K)

der Dualraum zu $V$ .

Die Addition und die Skalarmultiplikation sind wie allgemein im Fall von Homomorphismenräumen definiert, also $(f + g) (v) := f (v) + g (v)$ und $(s f) (v) := s \cdot f (v)$ . Bei endlichdimensionalem $V$ ist nach Fakt die Dimension des Dualraumes $V^{*}$ gleich der Dimension von $V$ .

Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ . Dann nennt man die Linearformen

v_{1}^{*}, \dots, v_{n}^{*} \in V^{*},

die durch

v_{i}^{*} (v_{j}) = δ_{i j} = {\begin{matrix} 1, falls i = j, \\ 0, falls i \neq j, \end{matrix}

festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.

Wegen Fakt ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform $v_{i}^{*}$ ordnet einem beliebigen Vektor $v \in V$ die $i$ -te Koordinate von $v$ bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu $v = \sum_{j = 1}^{n} s_{j} v_{j}$ ist ja

v_{i}^{*} (v) = v_{i}^{*} (\sum_{j = 1}^{n} s_{j} v_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} s_{j} v_{i}^{*} (v_{j}) = s_{i} .

Es ist wichtig zu betonen, dass $v_{i}^{*}$ nicht nur von dem Vektor $v_{i}$ , sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen „dualen Vektor“ zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf $V$ ein Skalarprodukt gegeben ist.

Beispiel

Zur Standardbasis $e_{1}, \dots, e_{n}$ im $K^{n}$ besteht die Dualbasis aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich $e_{i}^{*} = p_{i}$ mit

p_{i} : K^{n} ⟶ K, (x_{1}, \dots, x_{n}) ⟼ x_{i} .

Sie heißt die Standarddualbasis.

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ .

Dann bildet die Dualbasis

$v_{1}^{*}, \dots, v_{n}^{*} \in V^{*}$

eine Basis des Dualraums.

Beweis

Es sei

\sum_{j = 1}^{n} a_{j} v_{j}^{*} = 0

mit $a_{j} \in K$ . Wenn wir diese Linearform auf $v_{i}$ anwenden, so ergibt sich direkt

a_{i} = 0 .

Die $v_{1}^{*}, \dots, v_{n}^{*}$ sind also linear unabhängig. Nach Fakt besitzt der Dualraum die Dimension $n$ , daher muss bereits eine Basis vorliegen.

◻

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ und der Dualbasis

v_{1}^{*}, \dots, v_{n}^{*} \in V^{*} .

Dann gilt für jeden Vektor $v \in V$ die Gleichheit

$v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{*} (v) v_{i} .$

D.h. die Linearformen $v_{i}^{*}$ ergeben die Skalare (Koordinaten) eines Vektors bezüglich einer Basis.

Beweis

Der Vektor $v$ hat eine eindeutige Darstellung

v = \sum_{j = 1}^{n} s_{j} v_{j}

mit $s_{j} \in K$ . Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit

\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{*} (v) v_{i} = \sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{*} (\sum_{j = 1}^{n} s_{j} v_{j}) v_{i} = \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i} = v .

◻

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum und sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ mit der Dualbasis $v_{1}^{*}, \dots, v_{n}^{*}$ . Es sei $w_{1}, \dots, w_{n}$ eine weitere Basis mit der Dualbasis $w_{1}^{*}, \dots, w_{n}^{*}$ und mit

w_{r} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k r} v_{k} .

Dann ist

$w_{j}^{*} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i j} v_{i}^{*},$

wobei ${(b_{i j})}_{i j} = {(A^{- 1})}^{tr}$ die Transponierte der inversen Matrix von $A = {(a_{k r})}_{k r}$ ist.

Beweis

Es ist

\begin{matrix} (\sum_{i = 1}^{n} b_{i j} v_{i}^{*}) (w_{r}) & = (\sum_{i = 1}^{n} b_{i j} v_{i}^{*}) (\sum_{k = 1}^{n} a_{k r} v_{k}) \\ = \sum_{1 \leq i, k \leq n} b_{i j} a_{k r} v_{i}^{*} (v_{k}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} b_{i j} a_{i r} . \end{matrix}

Hier steht das „Produkt“ aus der $j$ -ten Spalte von $B$ und der $r$ -ten Spalte von $A$ , also das Produkt aus der $j$ -ten Zeile von $B^{tr} = A^{- 1}$ und der $r$ -ten Spalte von $A$ . Bei $r = j$ ist dies $1$ und bei $r \neq j$ ist dies $0$ . Daher stimmt die angegebene Linearform mit $w_{j}^{*}$ überein.

◻

Mit Basiswechselmatrizen kann man dies auch als

M_{𝔳^{*}}^{𝔴^{*}} = ({(M_{𝔳}^{𝔴})}^{- 1})^{tr} = (M_{𝔴}^{𝔳})^{tr}

ausdrücken.