Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 4 3 4 0 0 5 0 4 4 0 0 0 30




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Primelement , in einem kommutativen Ring .
  2. Die eulersche Funktion zu .
  3. Die Primzahlfunktion.
  4. Ein lokaler Ring.
  5. Ein Hauptdivisor zu einem Element , , aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich .
  6. Eine quadratische Form auf einem -Modul .


Lösung

  1. Das Element heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt es einen der Faktoren.
  2. Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von .
  3. Die für definierte Funktion

    heißt Primzahlfunktion.

  4. Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
  5. Zu , , heißt die Abbildung, die jedem Primideal in die Ordnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor.
  6. Eine quadratische Form auf einem -Modul ist eine Abbildung

    die die beiden Eigenschaften

    1. für alle und ,

    2. für alle ,

    erfüllt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
  2. Der Satz über die diophantische Gleichung .
  3. Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.


Lösung

  1. Für eine ungerade Primzahl gilt:
  2. Die diophantische Gleichung
    hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
  3. Sei ein Zahlbereich. Dann ist jeder echte Restklassenring von endlich.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

a) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.

b) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.


Lösung

a) Hier kann man direkt ausrechnen, dass die Lösungen sind.

b) Es geht um die Frage, für welche die Gleichheit

(in ) gilt. Es geht also darum, die idempotenten Elemente von zu finden. Wegen

und da es modulo einer Primzahlpotenz nur die trivialen idempotenten Elemente gibt, geht es um die Elemente in der Produktdarstellung. Diese entsprechen den Zahlen .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Lösung

Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:

ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle aus folgt . Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von nur aus besteht, was genau dann gilt, wenn injektiv ist.

ist eine Einheit genau dann, wenn es ein gibt mit , was genau dann der Fall ist, wenn zum Bild von gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass surjektiv ist, denn aus folgt sofort für jedes .


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen eine zu teilerfremde Zahl derart, dass in gilt.

a) .

b) .


Lösung Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 45 und 75/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primelement. Zeige, dass auch im Polynomring prim ist.


Lösung

Sei . Wir nehmen an, dass weder noch teilt. Dann teilt nicht alle Koeffizienten von und von . Es sei und und es seien bzw. die kleinsten Indizes derart, dass (bzw. ) kein Vielfaches von ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ). Wir betrachten den -ten Koeffizienten von , dieser ist

Die Summanden links sind Vielfache von aufgrund der Wahl von und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von . Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ist, muss auch der mittlere Summand ein Vielfaches von sein. Da prim ist, ist dies ein Widerspruch.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl mit , und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für über an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe gibt.


Lösung

Wir behaupten, dass eine Ganzheitsgleichung ist. In der Tat, es ist

Wir betrachten nun die Ringerweiterung . Es ist und eine -Basis rechts. In dieser Basis drückt sich die -Basis links, also und aus als und . Damit ist die Restklassengruppe

Daher gilt sogar für eine beliebige Gruppe zwischen und , dass die Nullgruppe oder ist. Damit ist oder .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs . Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

auf und berechne damit die Spur und die Norm von .


Lösung

Eine -Basis von ist gegeben durch und . Die vier Produkte sind demnach , (zweimal) und . Die Spuren davon sind , (zweimal) und . Daher ist die Diskriminante gleich

Das Element wird bezüglich der -Basis und durch die Matrix

beschrieben. Deren Determinante, also die Norm, ist somit

und die Spur ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung