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Elliptische Kurve/Tate-Modul/Einführung/Textabschnitt

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Für eine elliptische Kurve über einem Körper betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von .


Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper und einer Primzahl versteht man unter dem -adischen Tate-Modul den projektiven Limes

Man bezeichnet hier die Primzahl mit , da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn nicht die Charakteristik ist, so ist

nach Fakt. Unter den natürlichen Abbildungen

wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie

wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die -adische Komplettierung des lokalen Ringes am maximalen Ideal . Diese wird mit bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie

Im Fall eines komplexen Torus zu einem komplexen Gitter gibt es aber eine kanonische Isomorphie

also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen , , siehe Aufgabe und Aufgabe. Da das Gitter aufgrund von Fakt die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als (-adische) Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen.



Es seien und elliptische Kurven über einem Körper und sei eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Eine Isogenie

    definiert einen Gruppenhomomorphismus

  2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

    vor.

  3. Die Abbildung

    ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Dies folgt direkt aus Fakt.