Für eine elliptische Kurve über einem Körper
K
{\displaystyle {}K}
betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von
K
{\displaystyle {}K}
.
Man bezeichnet hier die Primzahl mit
ℓ
{\displaystyle {}\ell }
, da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn
ℓ
{\displaystyle {}\ell }
nicht die Charakteristik ist, so ist
E
[
ℓ
n
]
≅
Z
/
(
ℓ
n
)
×
Z
/
(
ℓ
n
)
{\displaystyle {}E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\,}
nach
Fakt .
Unter den natürlichen Abbildungen
ℓ
:
E
[
ℓ
n
+
1
]
≅
Z
/
(
ℓ
n
+
1
)
×
Z
/
(
ℓ
n
+
1
)
⟶
E
[
ℓ
n
]
≅
Z
/
(
ℓ
n
)
×
Z
/
(
ℓ
n
)
{\displaystyle \ell \colon E[\ell ^{n+1}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n+1})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n+1})\longrightarrow E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})}
wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie
⟶
Z
/
(
ℓ
3
)
⟶
Z
/
(
ℓ
2
)
⟶
Z
/
(
ℓ
)
⟶
0
,
{\displaystyle \longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ^{3})\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )\longrightarrow 0,}
wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die
ℓ
{\displaystyle {}\ell }
-adische
Komplettierung
des
lokalen Ringes
Z
(
ℓ
)
{\displaystyle {}\mathbb {Z} _{(\ell )}}
am
maximalen Ideal
(
ℓ
)
{\displaystyle {}(\ell )}
. Diese wird mit
Z
^
ℓ
{\displaystyle {}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }}
bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie
T
ℓ
(
E
)
≅
Z
^
ℓ
×
Z
^
ℓ
.
{\displaystyle {}T_{\ell }(E)\cong {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\times {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,.}
Im Fall eines
komplexen Torus
C
/
Γ
{\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma }
zu einem
komplexen Gitter
Γ
⊆
C
{\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}
gibt es aber eine kanonische Isomorphie
T
ℓ
(
E
)
≅
lim
←
n
∈
N
Γ
/
ℓ
n
Γ
,
{\displaystyle {}T_{\ell }(E)\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \,,}
also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen
ℓ
n
Γ
{\displaystyle {}\ell ^{n}\Gamma }
,
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
,
siehe
Aufgabe
und
Aufgabe .
Da das Gitter aufgrund von
Fakt
die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als
(
ℓ
{\displaystyle {}\ell }
-adische)
Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen.
Es seien
E
1
{\displaystyle {}E_{1}}
und
E
2
{\displaystyle {}E_{2}}
elliptische Kurven
über einem
Körper
K
{\displaystyle {}K}
und sei
ℓ
{\displaystyle {}\ell }
eine
Primzahl . Dann gelten folgende Eigenschaften.
Eine
Isogenie
φ
:
E
1
⟶
E
2
{\displaystyle \varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}}
definiert einen
Gruppenhomomorphismus
φ
ℓ
:
T
ℓ
(
E
1
)
⟶
T
ℓ
(
E
2
)
.
{\displaystyle \varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E_{1})\longrightarrow T_{\ell }(E_{2}).}
Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus
Hom
K
(
E
1
,
E
2
)
⟶
Hom
(
T
ℓ
(
E
1
)
,
T
ℓ
(
E
2
)
)
,
φ
⟼
φ
ℓ
,
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}{\left(E_{1},E_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{}{\left(T_{\ell }(E_{1}),T_{\ell }(E_{2})\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },}
vor.
Die Abbildung
End
K
(
E
)
⟶
End
(
T
ℓ
(
E
)
)
,
φ
⟼
φ
ℓ
,
{\displaystyle \operatorname {End} _{K}{\left(E\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(T_{\ell }(E)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },}
ist ein
Ringhomomorphismus
des
Endomorphismenringes
einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.
Dies folgt direkt aus
Fakt .
◻
{\displaystyle \Box }