Endomorphismus/Minimalpolynom/Charakteristisches Polynom/Textabschnitt

Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

$f:V⟶V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist das charakteristische Polynom ${\chi }_f$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms ${\mu }_f$ zu $f$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.

$◻$

Insbesondere ist der Grad des Minimalpolynoms zu $\phi :V\to V$ durch die Dimension des Vektorraums $V$ beschränkt. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom stimmen in verschiedener Hinsicht überein, beispielsweise besitzen sie die gleichen Nullstellen.

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

$f:V⟶V$

eine lineare Abbildung. Es sei  $v\in V$  ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$ und es sei  $P\in K[X]$  ein Polynom.

Dann ist

$(P(f))(v)=P(\lambda )v.$

Insbesondere ist $v$ ein Eigenvektor von $P(f)$ zum Eigenwert $P(\lambda )$. Der Vektor  $v\ne 0$  gehört genau dann zum Kern von $P(f)$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle von $P$ ist.

Beweis

Es ist

$(f^k)(v)={\lambda }^{k}v.$

Daher folgt alles daraus, dass die Zuordnung $P\mapsto P(f)$ mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.

$◻$

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

$f:V⟶V$

eine lineare Abbildung.

Dann besitzen das charakteristische Polynom ${\chi }_f$ und das Minimalpolynom ${\mu }_f$ die gleichen Nullstellen.

Beweis

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.

Umgekehrt sei  $\lambda \in K$  eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei  $v\in V$  ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$, den es nach Fakt gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als

${\mu }_f=(X-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{m_k}Q,$

wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist

$\begin{array}{cc}0& ={\mu }_f(f)\\ & =((X-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{m_k}Q)(f)\\ & =(f-{\lambda }_1{\mathrm{Id}}_V{)}^{m_1}\cdots (f-{\lambda }_k{\mathrm{Id}}_V{)}^{m_k}Q(f).\end{array}$

Wir wenden dies auf $v$ an. Nach Fakt bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{m_i}v$ bzw. auf $Q(\lambda )v$ ab. Insgesamt wird somit $v$ auf

$(\lambda -{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{m_k}Q(\lambda )v$

abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und  $Q(\lambda )\ne 0$  ist, muss ein  ${\lambda }_i=\lambda$  sein.

$◻$