Endomorphismus/Trigonalisierbar/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie eine Scherungsmatrix zeigt (siehe Beispiel). Wir werden in Fakt sehen, dass eine lineare Abbildung genau dann trigonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Eine quadratische Matrix ${}M$ heißt trigonalisierbar, wenn die dadurch definierte lineare Abbildung ${}K^{n}\rightarrow K^{n}$ trigonalisierbar ist. Dies bedeutet, dass es eine Basis gibt, bezüglich der die Abbildung durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, bzw., dass es eine invertierbare Matrix ${}B$ (die Basiswechselmatrix) derart gibt, dass

$BMB^{-1}$

eine obere Dreiecksmatrix ist. Somit ist eine Matrix genau dann trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das Auffinden einer Basis, bezüglich der obere Dreiecksgestalt vorliegt bzw. die Durchführung des Basiswechsels nennt man Trigonalisierung.

Beispiel

Wir behaupten, dass die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,$

trigonalisierbar ist. Die Matrix

${}B={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}\,$

ist invertierbar mit der inversen Matrix

${}B^{-1}={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}\,.$

Eine direkte Rechnung zeigt

${}BMB^{-1}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-3\\-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}\,.$

Bei diesem Nachweis der Trigonalisierbarkeit taucht die Übergangsmatrix ${}B$ aus dem Nichts auf. Ein einsichtigerer Trigonalisierbarkeitsnachweis ergibt sich mit Hilfe des charakteristischen Polynoms und Fakt. Das charakteristische Polynom ist

${}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-3&-1\\1&X-1\end{pmatrix}}=(X-3)(X-1)+1=X^{2}-4X+4=(X-2)^{2}\,,$

zerfällt also in Linearfaktoren.

Lemma

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper ${}K$ und

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

lineare Abbildungen und es sei

$\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$

die Produktabbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar, wenn dies für alle ${}\varphi _{i}$ gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die vorstehende Aussage gilt insbesondere, wenn

${}V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}\,$

eine direkte Summe von ${}\varphi$-invarianten Untervektorräumen ist.