Etale Fundamentalgruppe/Einführung/Textabschnitt

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Zu einem Schema kann man die Kategorie aller endlichen étalen Morphismen betrachten, wobei jeder Morphismus in dieser Kategorie die Basis festlässt. Die Idee ist dabei, die „universelle Überlagerung“, die es im algebraischen Kontext nicht gibt, durch das System aller endlichen Überlagerungen anzunähern.

Sei eine komplexe Mannigfaltigkeit oder allgemeiner ein topologischer Raum. Die universelle Überlagerung

hat die Eigenschaft, dass die Automorphismengruppe von über , also die Menge der Homöomorphismen (Decktransformationen)

die mit kommutieren, unter schwachen Bedingungen mit der topologischen Fundamentalgruppe von übereinstimmt. Dies beruht auf der folgenden Konstruktion: Es sei

eine Überlagerung und ein Punkt. Die Faser von über sei mit bezeichnet. Dann gibt es eine natürliche Operation

(die sogenannte Monodromie) der topologischen Fundamentalgruppe auf . Einem stetigen Weg

mit als Start- und Zielpunkt und einem Punkt der Faser wird der eindeutig bestimmte Endpunkt des gelifteten Weges zugeordnet, der im Punkt startet

(siehe hierzu auch Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Vorlesung 17). Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus

bzw. einer Operation von auf . Diese Zuordnung ist für zusammenhängend injektiv, da generell für einen zusammenhängenden topologischen Raum (z.B. selbst, oder , oder das Einheitsintervall) und einer stetigen Abbildung

zwei Liftungen

mit für einen einzelnen Punkt schon gelten muss.

Dieser Gruppenhomomorphismus ist nur in Ausnahmefällen surjektiv. Es muss im Allgemeinen auch keinen Automorphismus geben, der einen Punkt der Faser in einen anderen Punkt der Faser überführt. Diese Eigenschaft führt vielmehr zur folgenden Definition.


Definition  

Eine Überlagerung

heißt normal, wenn es zu jedem Punkt und jedem Punktepaar eine Decktransformation

gibt mit .

Eine normale Überlagerung ist also dadurch gekennzeichnet, dass die Gruppe der Decktransformationen transitiv auf einer jeden Faser operiert. Jeder Punkt in einer Faser definiert eine Abbildung

die stets injektiv und im normalen Fall auch bijektiv ist.

Es ist eine wichtige Eigenschaft von Überlagerungen, dass man zu einer normalen Überlagerung übergehen kann. Diese topologische Eigenschaft ist analog dazu, dass man separable Körpererweiterungen in eine Galoiserweiterung (normale Hülle) einbetten kann.



Liftungseigenschaften von étalen Abbildungen und Galoiserweiterungen

Die beiden oben in Erinnerung gerufenen Eigenschaften von topologischen Überlagerungen, nämlich die eindeutige Liftungseigenschaft und die Normalität, kommen auch im Kontext der algebraischen Geometrie vor.


Lemma

Sei ein zusammenhängendes Schema und sei

eine étaler Schemamorphismus. Es sei

ein Schnitt zu .

Dann ist eine offene Einbettung. Wenn zusätzlich separiert ist, so ist eine abgeschlossene Einbettung.


Satz

Sei ein zusammenhängendes Schema und sei

ein separierter und étaler Schemamorphismus. Es sei ein Punkt und es seien

Schnitte zu mit .

Dann ist .


Satz

Es sei

ein separierter und étaler Schemamorphismus. Es sei ein zusammenhängendes Schema über und seien

-Morphismen mit für einen Punkt derart, dass auch die zugehörigen Körperhomomorphismen

identisch sind.

Dann ist .

Ein endlicher Morphismus ist affin und insbesondere separiert.


Die Gruppe der Decktransformationen wird im algebraisch-geometrischen Kontext folgendermaßen definiert.


Definition  

Zu einem Schemamorphismus

nennt man

die Automorphismengruppe. Sie wird mit bezeichnet.

Die Automorphismengruppe (oder Galoisgruppe) sollte man sich im Kontext von Fundamentalgruppen als Gruppe von Decktransformationen vorstellen.

Besonders wichtig sind die galoisschen Morphismen, das sind die étalen Morphismen mit „großer“ Automorphismengruppe und entsprechen den normalen Überlagerungen. Die folgende Definition lehnt sich an der der Normalität an.


Definition  

Es sei

ein endlicher étaler Morphismus zwischen zwei zusammenhängenden Schemata. Man nennt galoissch, wenn es zu jedem Morphismus

( ein separabel abgeschlossener Körper) und zwei Liftungen

einen -Automorphismus

gibt mit .

Zu einem endlichen étalen Morphismus

kann man i.A. einen Morphismus

finden derart, dass

galoissch ist. Für die Konstruktion der étalen Fundamentalgruppe kann man sich im Wesentlichen auf galoissche Überlagerungen beschränken.



Definition der étalen Fundamentalgruppe

Die Kategorie der endlichen étalen Morphismen

wird mit bezeichnet. Für eine Varietät über entspricht das der Kategorie aller Überlagerungen mit endlichen Fasern.

Es ist das Ziel, über die Kategorie aller étalen Morphismen bzw. aller dabei auftretenden Automorphismen einen sinnvollen Limes zu bilden. Dazu braucht man eine durch eine Menge indizierte hinreichend feine und reichhaltige Auswahl all dieser Morphismen. Dazu muss man die Morphismen in eine gewisse Ordnung bringen, was man durch ein zusätzliches Datum, eine Punktierung, erreicht.

Es sei ein zusammenhängendes Schema und ein geometrischer Punkt von , also ein Punkt zusammen mit einem Körperhomomorphismus in einen separablen Abschluss des Restekörpers . Dies ist das Gleiche wie ein Schemamorphismus

und bedeutet die Fixierung eines Basispunktes. Die Faser über zu einem endlichen étalen Morphismus ist endlich. Die Basispunktfixierung kann auf verschiedene Arten zu einer Fixierung in geliftet werden. Eine solche Liftung ist einfach ein kommutatives Diagramm

Wir setzen

Ein Element ist also eine Liftung des geometrischen Basispunktes , und ist die geometrische Faser über .

Wir betrachten die Zuordnung als einen Funktor (man spricht von dem Faserfunktor) von der Kategorie der étalen Überdeckungen in die Kategorie der Mengen. Dieser Funktor ist strikt prorepräsentierbar, d.h. es gibt eine geordnete Menge und eine durch induzierte Familie , wobei und ist, so dass diese Familie die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Zu gibt es einen surjektiven -Morphismen
  2. Es ist und .
  3. Zu jedem ist die natürliche Abbildung

    eine Bijektion.

Die letzte Bedingung bedeutet dabei insbesondere, dass es zu jedem gegebenen und ein und einen -Morphismus

der auf abbildet.

Die Automorphismengruppe operiert auf durch

Diese Operation induziert für jedes bei zusammenhängendem eine injektive Abbildung

da ein Automorphismus mit nach Fakt die Identität sein muss. Insbesondere haben wir also für die Familie injektive Abbildungen

Nach obiger Definition ist galoissch über , wenn diese Abbildung auch (für jedes ) surjektiv ist. Für ein gibt es einen Morphismus derart, dass galoissch über ist. Daher kann man die gegebene Familie durch eine Familie ersetzen, bei der zusätzlich jedes galoissch ist (und auch zusammenhängend). Das werden wir im folgenden tun und setzen

und nennen diese Automorphismengruppen auch Galoisgruppen. Zu einem surjektiven Morphismus

zwischen galoisschen Überdeckungen gibt es ein kommutatives Diagramm

Dabei geht auf und dies legt den surjektiven Gruppenhomomorphismus

fest. Insgesamt erhalten wir über diese Konstruktion einen Funktor

wobei zu der soeben definierte Gruppenhomomorphismus

gehört. Die surjektiven Gruppenhomomorphismen haben also die gleiche Richtung wie die Morphismen. Statt dem Kolimes betrachtet man aber jetzt den projektiven Limes über dieses System. Man setzt

und nennt dies die étale Fundamentalgruppe von im Punkt . Sie ist also eine Komplettierung von endlichen Gruppen, ihre Elemente bestehen aus Folgen , , die die Bedingung erfüllen. Zu jedem gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

Für einen anderen Basispunkt ergibt sich eine isomorphe Gruppe (es gibt aber keinen kanonischen Isomorphismus), wobei die Basispunkte noch nicht einmal abgeschlossen sein müssen.

Bemerkung  

Es sei ein Körper und

eine Einbettung in einen separablen Abschluss. Die

étalen Morphismen entsprechen den separablen -Algebren , das sind endlichdimensionale -Algebren, die das direkte Produkt von Körpern sind, die alle separable Körpererweiterungen von sind. Insbesondere treten hierbei die endlichen separablen Körpererweiterungen auf. Eine Punktierung von durch ist ein -Algebrahomomorphismus

der durch einen der Körper faktorisiert. Wenn galoissch ist, so sind alle untereinander isomorph und selbst eine endliche galoissche Körpererweiterung von . Wenn nicht zusammenhängend ist, so kann die Automorphismengruppe größer als die Faser sein. Man denke an die -fache disjunkte Vereinigung des Grundpunktes mit sich selbst. Die Automorphismengruppe besitzt dann Elemente. Da man sich bei der Konstruktion der étalen Fundamentalgruppe auf zusammenhängende Erweiterungen beschränken kann, können wir uns auf eine Familie von galoisschen Körpererweiterungen beschränken. Dabei kann man überhaupt alle über endlichen und galoisschen Zwischenkörper , , als Indexmenge nehmen. Somit ist die absolute Galoisgruppe von .


Bemerkung  

Zu einem integren normalen Schema ist es relativ einfach, eine geordnete Menge anzugeben, die sämtliche Galoisüberdeckungen von erfasst (im Sinne der Prorepräsentierung). Man betrachtet den Funktionenkörper und startet wie in Fakt mit der Menge aller endlichen Galoiserweiterungen mit , wobei ein separabler Abschluss von ist. Man beschränkt sich dann auf diejenigen Erweiterungen , für die der integrale Abschluss von in selbst étale (und dann automatisch galoissch) ist (diese Auswahl konstituiert also die Indexmenge, wobei die natürliche Inklusion die Ordnung festlegt). Die Abbildung

definiert dabei die Punktierung von über der Basispunktierung , d.h. man nimmt den generischen Punkt des Schemas als Basispunkt.



Beispiel  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und die punktierte Gerade, wobei wir den Punkt fixieren. Die zusammenhängenden galoisschen Überdeckungen sind

mit der Galoisgruppe , wobei kein Vielfaches der Charakteristik ist. Als Indexmenge kann man die natürlichen Zahlen ohne die Vielfachen der Charakteristik zusammen mit der durch die Teilbarkeit gegebenen Ordnung nehmen. Für gibt es natürliche Morphismen

wobei

surjektiv ist (ein Erzeuger wird also auf einen Erzeuger abgebildet, bzw. eine primitive Einheitswurzel wird auf eine primitive Einheitswurzel abgebildet). Die

étale Fundamentalgruppe

ist also

Die beiden folgenden Sätze zeigen, dass die étale Fundamentalgruppe wichtige erwünschte Eigenschaften erfüllt.


Satz

Es sei ein zusammenhängendes Schema und ein geometrischer Punkt von mit der étalen Fundamentalgruppe .

Dann induziert der Faserfunktor

eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der endlichen étalen Schemata über und der Kategorie der endlichen Mengen, auf denen eine stetige Operation von gegeben ist.

Die Stetigkeit bedeutet dabei, dass die Operation über eine endliche Restklassengruppe faktorisiert.

Aus dem Riemannschen Existenzsatz folgt für der folgende wichtige Vergleichssatz zwischen étaler und topologischer Fundamentalgruppe.


Satz

Es sei eine glatte Varietät über , ein abgeschlossener Punkt und die zugehörige komplexe Mannigfaltigkeit.

Dann besteht zwischen der étalen Fundamentalgruppe und der topologischen Fundamentalgruppe die Beziehung

d.h. die étale Fundamentalgruppe ist die proendliche Komplettierung der topologischen Fundamentalgruppe.

Insbesondere definiert ein geschlossener Weg

ein Element in der étalen Fundamentalgruppe, das man direkt angeben kann. Zu und der zugehörigen galoisschen Überdeckung

besitzt die Liftung mit dem Startpunkt einen eindeutig bestimmten Endpunkt , dem ein eindeutiger Automorphismus entspricht. Die Familie , , ist verträglich und definiert das zugehörige Element in der étalen Fundamentalgruppe.