Graduierte Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer ${}D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, bei der auf ${}L$ eine ${}D$-Graduierung ${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ mit ${}L_{0}=K$ und ${}L_{d}\neq 0$ für alle ${}d\in D$ gegeben ist.

Beispiel

Die Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ ist durch die Gruppe ${}D=\mathbb {Z} /(2)$ graduiert. Die ${}0$-te homogene Komponente ist ${}\mathbb {R}$ und die ${}1$-te Komponente ist ${}\mathbb {R} {\mathrm {i} }$ (das ${}{\mathrm {i} }$ gehört da dazu, während man unter dem Imaginärteil einer komplexen Zahl die reelle Zahl vor dem ${}{\mathrm {i} }$ versteht). Die übliche Schreibweise ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist also die Zerlegung in die homogenen Komponenten.

Beispiel

Die ${}\mathbb {Q}$-Algebra ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+4)$ ist eine ${}\mathbb {Z} /(4)$-graduierte ${}\mathbb {Q}$-Algebra. Das Polynom ${}X^{4}+4$ besitzt keine Nullstelle in ${}\mathbb {Q}$, es ist aber nicht irreduzibel, wie die Zerlegung

${}X^{4}+4=(X^{2}-2X+2)(X^{2}+2X+2)\,$

zeigt. Es liegt also keine graduierte Körpererweiterung vor.

Beispiel

Wir betrachten den von ${}{\sqrt {2}}$ und ${}{\sqrt {3}}$ erzeugten Unterkörper ${}L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]$ von ${}{\mathbb {C} }$ (oder von ${}\mathbb {R}$). Die Elemente ${}1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$ bilden dabei unmittelbar ein ${}\mathbb {Q}$-Erzeugendensystem und sogar eine Basis, da man andernfalls ${}{\sqrt {3}}$ als rationale Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ ausdrücken könnte. Damit liegt insgesamt eine Körpererweiterung vom Grad vier vor. Sei ${}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Wir setzen

$L_{(0,0)}=\mathbb {Q} ,\,L_{(1,0)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}},\,L_{(0,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\,,L_{(1,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}},$

und erhalten dadurch eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]\,$

in ${}{\mathbb {C} }$. Diese besitzt eine ${}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der ${}1,{\mathrm {i} },{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }{\sqrt {2}}$ eine homogene Basis bilden. Das (in dieser Graduierung nicht homogene) Element ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ ist eine ${}8$-te primitive Einheitswurzel und wegen ${}\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ ist ${}L=\mathbb {Q} (\zeta _{8})$ der achte Kreisteilungskörper Das Minimalpolynom zu ${}\zeta _{8}$ ist ${}X^{4}+1$, sodass man auch ${}L\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)$ schreiben kann. Dies zeigt, dass ${}L$ auch eine ${}\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist, bei der ${}\zeta _{8}$ homogen ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. Jede homogene Stufe ${}L_{d}$ besitzt die ${}K$-Dimension ${}1$.
2. Es ist ${}\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(D\right)}$.
3. Es sei ${}D=(d_{1},\ldots ,d_{m})$ ein Erzeugendensystem von ${}D$ und es sei ${}x_{i}\in L_{d_{i}}$, ${}x_{i}\neq 0$, fixiert. Dann ist ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]$. Insbesondere wird ${}L$ von homogenen Elementen erzeugt.
4. Jedes homogene Element ${}x\in L_{d}$, ${}x\neq 0$, besitzt ein Minimalpolynom der Form ${}X^{n}-a$ mit ${}a\in K$.
5. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist eine Radikalerweiterung.

Beweis

(1). Nach Voraussetzung ist ${}L_{d}\neq 0$. Es seien ${}a,b\in L_{d}$ von ${}0$ verschieden und sei ${}c\in L_{-d}$ ebenfalls ${}\neq 0$. Dann sind ${}ca$ und ${}cb$ Elemente ${}\neq 0$ in ${}L_{0}=K$ und daher besteht die Beziehung ${}ca=\lambda cb$ mit ${}\lambda \in K$, die sich durch Multiplikation mit ${}c^{-1}$ (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu ${}a=\lambda b$.
(2) folgt direkt aus (1).
(3) ist klar wegen (1).
(4). Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ die Ordnung von ${}d\in D$. Für ein homogenes Element ${}x\in L_{d}$, ${}x\neq 0$, ist daher

${}a=x^{n}\in L_{nd}=L_{0}=K\,.$

Also ist ${}X^{n}-a\in K[X]$ ein annullierendes Polynom. Die Potenzen ${}x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben.
(5) folgt aus (3) und (4).

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