Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Beziehung zur Charaktergruppe/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$-graduierte kommutative ${}K$-Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

$D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)\longrightarrow \operatorname {Aut} _{K}^{}{\left(A\right)},\,\chi \longmapsto (a_{d}\mapsto \chi (d)a_{d}),$

der Charaktergruppe von ${}D$ in die (homogene) ${}K$-Automorphismengruppe von ${}A$.

Wenn alle ${}A_{d}\neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

Beweis

Zu jedem Charakter

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

ist die durch

${}\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$ definierte Abbildung ${}\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente ${}a_{d}\in A_{d}$ und ${}a_{e}\in A_{e}$ aus

${}\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für ${}a\in A_{0}$ (und insbesondere für ${}a\in K$) ist ferner ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$, so dass ein ${}K$-Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere ${}\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$ gegeben. Für ein homogenes Element ${}a_{d}\in A_{d}$ ist

${}{\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$

so dass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

${}\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$

so dass jedes ${}\varphi _{\chi }$ ein ${}K$-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei ${}\chi \neq 1$ gibt es ein ${}d\in D$ mit ${}\chi (d)\neq 1$. Nach Voraussetzung ist

${}A_{d}\neq 0\,,$

sei also ${}a\in A_{d}$, ${}a\neq 0$. Damit ist ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$, da ${}\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist ${}\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$.

$\Box$

Aufgrund dieses Lemmas operiert also die Charaktergruppe zur graduierenden Gruppe auf ${}A$ als Gruppe von (homogenen) ${}K$-Algebraautomorphismen. Der zugehörige Invariantenring zu dieser Operation fällt unter schwachen Bedingungen mit dem Ring der neutralen Stufe der Graduierung zusammen.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$-graduierte kommutative ${}K$-Algebra. Zu jedem ${}d\in D$, ${}d\neq 0$, gebe es einen Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ mit

${}\chi (d)\neq 1\,.$

Dann ist ${}A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }$ auf ${}A$.

Beweis

Für ein Element ${}f\in A_{0}$ und einen beliebigen Charakter ${}\chi$ ist offenbar

${}\varphi _{\chi }(f)=\chi (0)f=f\,,$

so dass ${}A_{0}\subseteq A^{G}$ ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements ${}f\in A^{G}$ ebenfalls invariant. Es sei ${}f\in A_{d}\cap A^{G}$ und ${}d\neq 0$. Aufgrund der Voraussetzung gibt es einen Charakter

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

mit ${}\chi (d)\neq 1$. Dann ist

${}\varphi _{\chi }(f)=\chi (d)f\neq f\,,$

also sind solche Elemente nicht invariant.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$-graduierte kommutative ${}K$-Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, so dass die Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }$ von ${}D$ isomorph zu ${}D$ sei.

Dann ist ${}A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${}G$ auf ${}A$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$ und der Polynomring ${}K[X]$ sei durch ${}D=\mathbb {Z} /(p)$ über ${}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(p)$ graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar ${}K[X^{p}]$. Die Charaktergruppe zu ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist aber trivial, da es wegen

${}(x-1)^{p}=x^{p}-1\,$

neben der ${}1$ keine weiteren ${}p$-ten Einheitswurzeln in ${}K$ gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist ${}K[X]$.