Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra.

Dann wird der Kern der Multiplikation

als - Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in ) von den Ausdrücken erzeugt.

Beweis  

Es sei , also in . Dann ist



Lemma  

Es sei eine endlich erzeugte kommutative - Algebra mit einer Darstellung .

Dann wird der Kern der Multiplikation

als Ideal in von den Ausdrücken erzeugt.

Beweis  

Nach Fakt müssen wir nur Ausdrücke der Form mit betrachten. Dabei können wir weiter annehmen, dass durch ein Monom

repräsentiert wird. Wir schreiben Vorlage:Vergleichskette/align/drucklinks Somit muss man nur noch die Potenzausdrücke in einer Variablen betrachten. Für diese gilt



Definition  

Es sei eine kommutative - Algebra und . Es sei der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den - Modul

versehen mit der -Multiplikation in der ersten Komponente, den -ten Modul der Hauptteile.


Definition  

Es sei eine kommutative - Algebra und . Dann nennt man die - lineare Abbildung

den universellen Differentialoperator der Ordnung .

Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar .



Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra und .

Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung die Produktformel

für .

Beweis  

Es ist

und dieses Element gehört zu , ist also gleich im Hauptteilmodul. Somit ist



Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra und .

Dann ist der Hauptteilmodul kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen , , erzeugten -Modul, der den Identifizierungen

  1. für und ,

  2. für ,

genügt.

Beweis  

Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als , wobei die kanonische Abbildung

bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen - Modulhomomorphismus

Die Abbildung

ist - bilinear und induziert damit einen -Modulhomomorphismus

Wegen der Produkteigenschaft von geht dabei auf (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen -Modulhomomorphismus

Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.