Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra.

Dann wird der Kern ${}\Delta$ der Multiplikation

$R\otimes _{K}R\longrightarrow R,\,f\otimes g\longmapsto fg,$

als ${}R$-Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in $R\otimes _{K}R$) von den Ausdrücken ${}g\otimes 1-1\otimes g$ erzeugt.

Beweis

Es sei ${}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}\in \Delta$, also ${}\sum _{i}f_{i}g_{i}=0$ in ${}R$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-{\left(\sum _{i}f_{i}g_{i}\right)}\otimes 1\\&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-\sum _{i}f_{i}g_{i}\otimes 1\\&=\sum _{i}{\left(f_{i}\otimes g_{i}-f_{i}g_{i}\otimes 1\right)}\\&=\sum _{i}f_{i}{\left(1\otimes g_{i}-g_{i}\otimes 1\right)}.\end{aligned}}$

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Lemma

Es sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra mit einer Darstellung ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.

Dann wird der Kern ${}\Delta$ der Multiplikation

$R\otimes _{K}R\longrightarrow R,\,f\otimes g\longmapsto fg,$

als Ideal in ${}R\otimes _{K}R$ von den Ausdrücken ${}X_{i}\otimes 1-1\otimes X_{i}$ erzeugt.

Beweis

Nach Fakt müssen wir nur Ausdrücke der Form ${}g\otimes 1-1\otimes g$ mit ${}g\in R$ betrachten. Dabei können wir weiter annehmen, dass ${}g$ durch ein Monom

${}X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

repräsentiert wird. Wir schreiben

${}{\begin{aligned}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\otimes 1-1\otimes X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i}^{\nu _{i}}\otimes X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}-X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}\otimes X_{i}^{\nu _{i}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}\otimes X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}{\left(X_{i}^{\nu _{i}}\otimes 1-1\otimes X_{i}^{\nu _{i}}\right)}.\,\end{aligned}}$

Somit muss man nur noch die Potenzausdrücke in einer Variablen betrachten. Für diese gilt

${}X_{i}^{\nu _{i}}\otimes 1-1\otimes X_{i}^{\nu _{i}}={\left(X_{i}\otimes 1-1\otimes X_{i}\right)}{\left(X_{i}^{\nu _{i}-1}\otimes 1+X_{i}^{\nu _{i}-2}\otimes X_{i}+\cdots +1\otimes X_{i}^{\nu _{i}-1}\right)}\,.$

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Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}\Delta \subseteq R\otimes _{K}R$ der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den ${}R$-Modul

${}P_{R{|}K}^{n}:=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\,,$

versehen mit der ${}R$-Multiplikation in der ersten Komponente, den ${}n$-ten Modul der Hauptteile.

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man die ${}K$-lineare Abbildung

$d^{n}\colon R\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1},\,f\longmapsto 1\otimes f,$

den universellen Differentialoperator der Ordnung ${}n$.

Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar ${}(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$.

Lemma

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung ${}n$ die Produktformel

$d^{n}(f_{0}\cdots f_{n})=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d^{n}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\,$

für ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(1\otimes f_{0}-f_{0}\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes f_{1}-f_{1}\otimes 1\right)}\cdots {\left(1\otimes f_{n}-f_{n}\otimes 1\right)}&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\end{aligned}}$

und dieses Element gehört zu ${}\Delta ^{n+1}$, ist also gleich ${}0$ im Hauptteilmodul. Somit ist

${}{\begin{aligned}d^{n}(f_{0}\cdots f_{n})&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}\\&=-\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d^{n}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$

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Lemma

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann ist der Hauptteilmodul ${}(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$ kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen ${}df$, ${}f\in R$, erzeugten ${}R$-Modul, der den Identifizierungen

1. ${}d(af+bg)=adf+bdg\,$

   für ${}f,g\in R$ und ${}a,b\in K$,

2. $d(f_{0}\cdots f_{n})=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\,$

   für ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$,

genügt.

Beweis

Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als ${}(U_{n},d)$, wobei ${}d$ die kanonische Abbildung

$R\longrightarrow U_{n},\,f\longmapsto [df],$

bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen ${}R$-Modulhomomorphismus

$U_{n}\longrightarrow P_{R{|}K}^{n},\,[df]\longmapsto 1\otimes f.$

Die Abbildung

$R\times R\longrightarrow U_{n},\,(r,f)\longmapsto r[df],$

ist ${}K$-bilinear und induziert damit einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$R\otimes _{K}R\longrightarrow U_{n}.$

Wegen der Produkteigenschaft von ${}U_{n}$ geht dabei ${}\Delta ^{n+1}$ auf ${}0$ (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}=P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow U_{n}.$

Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.

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