Hyperfläche/Jacobiideal/Milnorzahl/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$. Man nennt

${}J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\,$

das Jacobiideal von ${}F$.

Das Jacobiideal ist ein Ideal im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Für einen Punkt ${}P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in V$ betrachtet man das Jacobiideal auch in der Lokalisierung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}$. Da wir an lokalen Eigenschaften interessiert sind, ist diese Interpretation wichtiger.

Lemma

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$ und ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und ${}P\in V$.

Dann ist das Jacobiideal ${}J_{F}$ im lokalen Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ genau dann das Einheitsideal, wenn ${}P$ ein glatter Punkt der Hyperfläche ist.

Beweis

Die Glattheit bedeutet im Fall eines Polynoms nach der Definition einfach, dass die partiellen Ableitungen im Punkt ${}P$ insgesamt eine surjektive Abbildung

$\left((\partial _{1}F)(P),\,\ldots ,\,(\partial _{1}F)(P)\right)\colon K^{n}\longrightarrow K$

definieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn mindestens ein Eintrag ${}\neq 0$ ist. Im lokalen Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ bedeutet dies, dass nicht alle partiellen Ableitungen im maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten sind, was genau dann der Fall ist, wenn sie das Einheitsideal erzeugen.

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John Milnor

Definition

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$, ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und ${}P\in V$ ein Punkt. Man nennt die ${}K$-Dimension des Restklassenringes ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F,P}$ die Milnorzahl im Punkt ${}P$.

Aufgrund von Fakt ist ${}P$ genau dann ein glatter Punkt der Hyperfläche, wenn seine Milnorzahl gleich ${}0$ ist. Insofern ist die Milnorzahl ein sinnvolles Singularitätsmaß.

Lemma

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass ${}F$ nur einen kritischen Punkt ${}P$ besitzt.

Dann ist die Milnorzahl gleich der ${}K$-Vektorraumdimension von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/J_{F}$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist

${}J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

mit einem einzigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ zu einem Punkt ${}P\in K^{n}$. Nach Fakt gilt

${}R/J_{F}=R_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,$

und somit stimmt auch die ${}K$-Dimension überein.

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Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form

${}F=X^{a}+Y^{b}+Z^{c}\,$

gegebene Hyperfläche im Nullpunkt (mit ${}a,b,c\geq 1$). Der Körper sei so, dass die Exponenten in ${}K$ von ${}0$ verschieden seien. Das Jacobiideal ist

${}{\left(aX^{a-1},bY^{b-1},cZ^{c-1}\right)}={\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,.$

Im Restklassenring (vergleiche Fakt)

${}K[X,Y,Z]_{(0,0,0)}/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}=K[X,Y,Z]/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,$

bilden die Monome ${}X^{i}Y^{j}Z^{k}$ mit ${}0\leq i\leq a-1,\,0\leq j\leq b-1,\,0\leq k\leq c-1,\,$ eine ${}K$-Basis und somit ist die Milnorzahl dieser Hyperfläche gleich ${}(a-1)(b-1)(c-1)$.

Die Milnorzahl kann unendlich sein.

Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form

${}F=X_{1}\cdots X_{n}\,$

gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das Jacobiideal ist

${}J_{F}={\left(X_{2}\cdots X_{n},X_{1}X_{3}\cdots X_{n},\ldots ,X_{1}\cdots X_{n-1}\right)}\,.$

Wir betrachten den Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(0,\ldots ,0)}/J_{F}$. Bei ${}n=2$ ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist ${}1$. Bei ${}n\geq 3$ hingegen sind die Monome

$X_{1}^{n},\,n\in \mathbb {N} ,$

linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die ${}K$-Dimension unendlich. Die Milnorzahl dieser Hyperfläche ist also unendlich.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$, ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und ${}P\in V$ ein Punkt.

Dann ist die Milnorzahl im Punkt ${}P$ genau dann endlich, wenn ${}P$ eine (allenfalls) isolierte Singularität ist.

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass ${}P$ ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist

${}J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

im lokalen Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wenn ${}P$ eine isolierte Singularität, so gibt es ein ${}g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$, ${}g\notin {\mathfrak {m}}_{P}$, in diesem Hyperflächenring derart, dass ${}P$ der einzige singuläre Punkt in ${}D(g)$. ist. Dies bedeutet nach Fakt, dass das Jacobiideal ${}J_{F}$ im Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ nur in dem einzigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ ist. Somit gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit

${}{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{f}\,$

in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$. Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/J_{F}$

und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.

Es sei umgekehrt

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$

endlich als ${}K$-Vektorraum. Dann hat ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$ die Krulldimension ${}0$ und in diesem lokalen Ring haben ${}J_{F}$ und ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ das gleiche Radikal, d.h. es gilt

${}{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

mit einem gewissen ${}r$. Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ für ein geeignetes ${}g$, das eine offene Umgebung von ${}P$ beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf ${}D(g)$ der Punkt ${}P$ der einzige singuläre Punkt ist.

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