Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 7

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Definition  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und die Gruppe der invertierbaren -Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).

Abgeschlossen bedeutet dabei in der Zariski-Topologie. D.h. es wird verlangt, dass es Polynome in den Variablen , , gibt derart, dass

Den Ring nennt man den Koordinatenring der Gruppe.


Beispiel  

Sei eine Matrix, so dass keine Potenz davon die Einheitsmatrix ist, d.h. die von erzeugte Untergruppe ist . Das einfachste Beispiel ergibt sich für und ein Element , das keine Einheitswurzel ist. Das ist keine algebraische Gruppe. Ebenso ist keine algebraische Gruppe.


Die spezielle lineare Gruppe ist eine algebraische Gruppe, sie ist ja durch die polynomiale Bedingung definiert. Die additive Gruppe

ist die affine Gerade zusammen mit der Addition

Sie wird als linear-algebraische Gruppe als die Gruppe der Matrizen

realisiert, da ja

gilt. Die multiplikative Gruppe ist

zusammen mit der Verknüpfung

Es ist also und damit ist natürlich die multiplikative Gruppe eine algebaische Gruppe (die ist nach Definition eine abgeschlossene Gruppe. Innerhalb der Menge aller Matrizen ist sie aber offen. Sie lässt sich als Zariski-abgeschlossene Varietät eine Dimension höher auffassen).


Definition  

Eine linear-algebraische Untergruppe über einem Körper heißt diagonalisierbar, wenn sie konjugiert zu einer Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen ist.

Es geht bei einer diagonalisierbaren Gruppe also im Wesentlichen um die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen. Diagonalisierbare Gruppen sind insbesondere kommutativ. Die Gruppe aller invertierbaren Diagonalmatrizen ist isomorph zu , eine solche Gruppe nennt man einen Torus. Der Koordinatenring des Torus ist

Diagonalisierbare Gruppen sind also die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen eines Torus. Was gibt es nun für diagonlisierbare Gruppen?

Die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen von sind einfach zu beschreiben. Es sind dies die selbst und, sobald eine Gleichung darauf verschwindet, bereits eine endliche Gruppe. Eine solche endliche Gruppe ist dann eine Gruppe von Einheitswurzeln . Die Gruppe ist natürlich auch diagonalisierbar, aber nicht abgeschlossen.



Exkurs: Monoidringe und Gruppenringe

Es gibt eine einfache Strukturtheorie für diagonalisierbare Gruppen: Eine solche Gruppe ist isomorph zum Produkt aus einem Torus und einer endlichen abelschen Gruppe. Um dies einzusehen betrachten wir Gruppenringe und deren Spektren.


Definition  

Sei ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring wie folgt konstruiert. Als -Modul ist

d.h. ist der freie Modul mit Basis , . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

definiert und auf ganz distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element das neutrale Element der Multiplikation.

Monoidring schreibt man zumeist in der Form . Die typischen Beispiele sind , der Polynomring in einer Variablen, und , der Polynomring in mehreren Variablen. Ferner ist der Koordinatenring des Torus.


Lemma

Sei ein kommutativer Ring und sei ein kommutatives Monoid. Sei eine kommutative -Algebra und

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten -Algebrahomomorphismus

derart, dass das Diagramm

kommutiert.

Insbesondere haben wir

und die -Punkte von entsprechen den Monoidhomomorphismen von in den Körper . Diese Monoidhomomorphismen nennt man auch die Charaktere von in . Die Menge der Charaktere von in bezeichnen wir mit .

Sei eine (additiv geschriebene) kommutative Gruppe und ein kommutativer Ring. Den Monoidring nennt man auch den Gruppenring zu . Für ein Element schreiben wir als Element im Gruppenring . Es gilt dann . Das Spektrum ist ein Gruppenschema mit der Komultiplikation

und der Koinversenabbildung und dem neutralen Element . Gruppenschemata von diesem Typ werden diagonalisierbar genannt. Das -Spektrum von ist eine abelsche Gruppe, die aus allen Charakteren von in besteht. Es wird mit bezeichnet. Es ist

in . Das neutrale Element ist der konstante (triviale) Charakter , das Inverse ist durch

gegeben. In den einfachsten Fällen ist

und

Sei eine kommutative, endlich erzeugte, additiv geschriebene Gruppe, also von der Gestalt

Die zugehörige Charaktergruppe

hat dann die Gestalt

Ist algebraisch abgeschlossen und sind die Ordnungen in alle invertierbar in , so ist diese Gruppe gleich

wobei eine primitive -te Einheitswurzel in sei.



Diagonalisierbar Gruppen als -Spektrum von Gruppenringen



Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik .

Eine linear-algebraische Gruppe ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie isomorph zum -Spektrum eines Gruppenringes, also ist, wobei eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist.

Beweis  

Zur endlich erzeugten abelschen Gruppe gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

Dies führt zu einer abgeschlossenen Einbettung der zugehörigen Gruppenschemata

die zugleich ein Homomorphismus von affinen Gruppenschemata ist.
Umgekehrt sei eine abgeschlossene Untergruppe gegeben. Die Monome , sind Charaktere auf dem Torus und damit auch auf . Sei ein Polynom, das auf verschwindet. Wir sortieren nach den verschiedenen Charakteren, die sich auf ergeben, und verwenden die Menge

die eine Untergruppe von ist. Die Menge der Charaktere , die auf übereinstimmen, kann man als ( sei ein Repräsentant für )

schreiben, und man erhält

Hier wird also summiert über (in ) verschiedene Charaktere. Nach dem Lemma von Dedekind sind Charaktere linear unabhängig, d.h. es folgt

auf für jedes . Wegen ist und daher folgt aus

dass in dem von

erzeugten Ideal in liegt. Damit wird das Ideal, das beschreibt, von solchen einfachen Gleichungen erzeugt, und man hat

Die Untergruppe definiert die kurze exakte Sequenz

und beschreibt das Gruppenschema , d.h. . Es ist ja