Abgeschlossen bedeutet dabei in der Zariski-Topologie. D.h. es wird verlangt, dass es Polynome
in den Variablen
,
, gibt derart, dass
-

Den Ring
nennt man den Koordinatenring der Gruppe.
Die spezielle lineare Gruppe
ist eine algebraische Gruppe, sie ist ja durch die polynomiale Bedingung
definiert. Die additive Gruppe
-

ist die affine Gerade zusammen mit der Addition
-
Sie wird als linear-algebraische Gruppe als die Gruppe der Matrizen
-
realisiert, da ja
-
gilt. Die multiplikative Gruppe
ist
-
zusammen mit der Verknüpfung
-
Es ist also
und damit ist natürlich die multiplikative Gruppe eine algebaische Gruppe
(die
ist nach Definition eine abgeschlossene Gruppe. Innerhalb der Menge aller Matrizen ist sie aber offen. Sie lässt sich als Zariski-abgeschlossene Varietät eine Dimension höher auffassen).
Eine
linear-algebraische Untergruppe
über einem Körper
heißt diagonalisierbar, wenn sie
konjugiert
zu einer Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen ist.
Es geht bei einer diagonalisierbaren Gruppe also im Wesentlichen um die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen. Diagonalisierbare Gruppen sind insbesondere kommutativ. Die Gruppe aller invertierbaren Diagonalmatrizen ist isomorph zu
, eine solche Gruppe nennt man einen Torus. Der Koordinatenring des Torus ist
-
![{\displaystyle {}K[T_{1},\ldots ,T_{n},T_{1}^{-1},\ldots ,T_{n}^{-1}]=K[T_{1},\ldots ,T_{n}]_{T_{1}\cdots T_{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4e8e65caf8c0a909f50dddd392ae39db072d22)
Diagonalisierbare Gruppen sind also die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen eines Torus. Was gibt es nun für diagonlisierbare Gruppen?
Die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen von
sind einfach zu beschreiben. Es sind dies die
selbst und, sobald eine Gleichung
darauf verschwindet, bereits eine endliche Gruppe. Eine solche endliche Gruppe ist dann eine Gruppe von Einheitswurzeln
. Die Gruppe
ist natürlich auch diagonalisierbar, aber nicht abgeschlossen.
- Exkurs: Monoidringe und Gruppenringe
Es gibt eine einfache Strukturtheorie für diagonalisierbare Gruppen: Eine solche Gruppe ist isomorph zum Produkt aus einem Torus und einer endlichen abelschen Gruppe. Um dies einzusehen betrachten wir Gruppenringe und deren Spektren.
Monoidring schreibt man zumeist in der Form
. Die typischen Beispiele sind
, der Polynomring in einer Variablen, und
, der Polynomring in mehreren Variablen. Ferner ist
der Koordinatenring des Torus.
Insbesondere haben wir
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{Mon}^{}{\left(M,(B,\cdot )\right)}=B\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f5b8e082f1d8e39ee826aea34f774e1192f734)
und die
-Punkte von
entsprechen den Monoidhomomorphismen von
in den Körper
. Diese Monoidhomomorphismen nennt man auch die Charaktere von
in
. Die Menge der Charaktere von
in
bezeichnen wir mit
.
Sei
eine
(additiv geschriebene)
kommutative Gruppe und
ein kommutativer Ring. Den Monoidring
nennt man auch den Gruppenring zu
. Für ein Element
schreiben wir als Element im Gruppenring
. Es gilt dann
. Das Spektrum
ist ein Gruppenschema mit der
Komultiplikation
-
und der Koinversenabbildung
und dem neutralen Element
. Gruppenschemata von diesem Typ werden diagonalisierbar genannt.
Das
-Spektrum von
ist eine abelsche Gruppe, die aus allen Charakteren von
in
besteht. Es wird mit
bezeichnet.
Es ist
-

in
. Das neutrale Element ist der konstante
(triviale)
Charakter
, das Inverse ist durch
-

gegeben. In den einfachsten Fällen ist
-
![{\displaystyle {}G_{m}(K)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {Z} ]\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[T,T^{-1}]\right)}=K^{\times }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb76704bbe56f42e35aed87f160be4e42e07cda)
und
-
![{\displaystyle {}\mu _{s}(K)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[T]/(T^{s}-1)\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3fd96c7600b3f9c4dcdd4840f979f3e5cd49c4)
Sei
eine kommutative, endlich erzeugte, additiv geschriebene Gruppe, also von der Gestalt
-

Die zugehörige Charaktergruppe
-

hat dann die Gestalt
-
Ist
algebraisch abgeschlossen und sind die Ordnungen in
alle invertierbar in
, so ist diese Gruppe gleich
-

wobei
eine primitive
-te Einheitswurzel in
sei.
- Diagonalisierbar Gruppen als
-Spektrum von Gruppenringen
Zur endlich erzeugten abelschen Gruppe
gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
-
Dies führt zu einer abgeschlossenen Einbettung der zugehörigen Gruppenschemata
-
die zugleich ein Homomorphismus von affinen Gruppenschemata ist.
Umgekehrt sei eine abgeschlossene Untergruppe
gegeben. Die Monome
, sind Charaktere auf dem Torus und damit auch auf
. Es sei
ein Polynom, das auf
verschwindet. Wir sortieren nach den verschiedenen Charakteren, die sich auf
ergeben, und verwenden die Menge
-
die eine Untergruppe von
ist. Die Menge der Charaktere
, die auf
übereinstimmen, kann man als
(
sei ein Repräsentant für
)
-
schreiben, und man erhält

Hier wird also summiert über (in
) verschiedene Charaktere. Nach dem
Lemma von Dedekind
sind Charaktere linear unabhängig, d.h. es folgt
-

auf
für jedes
. Wegen
ist
und daher folgt aus
-
dass
in dem von
-
erzeugten Ideal in
liegt. Damit wird das Ideal, das
beschreibt, von solchen einfachen Gleichungen erzeugt, und man hat
-
![{\displaystyle {}G=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{n},X_{n}^{-1}]/(X^{\lambda }-1:\,\lambda \in \Lambda )\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87ea0d266e89a7175f9035cded37f31a73f44c8)
Die Untergruppe
definiert die kurze exakte Sequenz
-
und
beschreibt das Gruppenschema
, d.h.
. Es ist ja
-

