Abgeschlossen bedeutet dabei in der Zariski-Topologie. D.h. es wird verlangt, dass es Polynome in den Variablen , , gibt derart, dass
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Den Ring nennt man den Koordinatenring der Gruppe.
Die spezielle lineare Gruppe ist eine algebraische Gruppe, sie ist ja durch die polynomiale Bedingung definiert. Die additive Gruppe
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ist die affine Gerade zusammen mit der Addition
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Sie wird als linear-algebraische Gruppe als die Gruppe der Matrizen
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realisiert, da ja
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gilt. Die multiplikative Gruppe ist
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zusammen mit der Verknüpfung
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Es ist also und damit ist natürlich die multiplikative Gruppe eine algebaische Gruppe
(die ist nach Definition eine abgeschlossene Gruppe. Innerhalb der Menge aller Matrizen ist sie aber offen. Sie lässt sich als Zariski-abgeschlossene Varietät eine Dimension höher auffassen).
Eine
linear-algebraische Untergruppe
über einem Körper heißt diagonalisierbar, wenn sie
konjugiert
zu einer Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen ist.
Es geht bei einer diagonalisierbaren Gruppe also im Wesentlichen um die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen. Diagonalisierbare Gruppen sind insbesondere kommutativ. Die Gruppe aller invertierbaren Diagonalmatrizen ist isomorph zu , eine solche Gruppe nennt man einen Torus. Der Koordinatenring des Torus ist
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Diagonalisierbare Gruppen sind also die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen eines Torus. Was gibt es nun für diagonlisierbare Gruppen?
Die Zariski-abgeschlossenen Untergruppen von sind einfach zu beschreiben. Es sind dies die selbst und, sobald eine Gleichung darauf verschwindet, bereits eine endliche Gruppe. Eine solche endliche Gruppe ist dann eine Gruppe von Einheitswurzeln . Die Gruppe ist natürlich auch diagonalisierbar, aber nicht abgeschlossen.
- Exkurs: Monoidringe und Gruppenringe
Es gibt eine einfache Strukturtheorie für diagonalisierbare Gruppen: Eine solche Gruppe ist isomorph zum Produkt aus einem Torus und einer endlichen abelschen Gruppe. Um dies einzusehen betrachten wir Gruppenringe und deren Spektren.
Monoidring schreibt man zumeist in der Form . Die typischen Beispiele sind , der Polynomring in einer Variablen, und , der Polynomring in mehreren Variablen. Ferner ist der Koordinatenring des Torus.
Insbesondere haben wir
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und die -Punkte von entsprechen den Monoidhomomorphismen von in den Körper . Diese Monoidhomomorphismen nennt man auch die Charaktere von in . Die Menge der Charaktere von in bezeichnen wir mit .
Sei eine
(additiv geschriebene)
kommutative Gruppe und ein kommutativer Ring. Den Monoidring nennt man auch den Gruppenring zu . Für ein Element schreiben wir als Element im Gruppenring . Es gilt dann . Das Spektrum
ist ein Gruppenschema mit der
Komultiplikation
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und der Koinversenabbildung und dem neutralen Element . Gruppenschemata von diesem Typ werden diagonalisierbar genannt.
Das -Spektrum von ist eine abelsche Gruppe, die aus allen Charakteren von in besteht. Es wird mit bezeichnet.
Es ist
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in . Das neutrale Element ist der konstante
(triviale)
Charakter , das Inverse ist durch
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gegeben. In den einfachsten Fällen ist
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und
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Sei eine kommutative, endlich erzeugte, additiv geschriebene Gruppe, also von der Gestalt
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Die zugehörige Charaktergruppe
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hat dann die Gestalt
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Ist algebraisch abgeschlossen und sind die Ordnungen in alle invertierbar in , so ist diese Gruppe gleich
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wobei eine primitive -te Einheitswurzel in sei.
- Diagonalisierbar Gruppen als -Spektrum von Gruppenringen
Zur endlich erzeugten abelschen Gruppe gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
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Dies führt zu einer abgeschlossenen Einbettung der zugehörigen Gruppenschemata
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die zugleich ein Homomorphismus von affinen Gruppenschemata ist.
Umgekehrt sei eine abgeschlossene Untergruppe gegeben. Die Monome , sind Charaktere auf dem Torus und damit auch auf . Es sei ein Polynom, das auf verschwindet. Wir sortieren nach den verschiedenen Charakteren, die sich auf ergeben, und verwenden die Menge
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die eine Untergruppe von ist. Die Menge der Charaktere , die auf übereinstimmen, kann man als
( sei ein Repräsentant für )
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schreiben, und man erhält
Hier wird also summiert über (in ) verschiedene Charaktere. Nach dem
Lemma von Dedekind
sind Charaktere linear unabhängig, d.h. es folgt
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auf für jedes . Wegen ist und daher folgt aus
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dass in dem von
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erzeugten Ideal in liegt. Damit wird das Ideal, das beschreibt, von solchen einfachen Gleichungen erzeugt, und man hat
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Die Untergruppe definiert die kurze exakte Sequenz
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und beschreibt das Gruppenschema , d.h. . Es ist ja
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