Kommutative Algebra/Projektiver Modul/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der Modul heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven -Modulhomomorphismus

und jedem Modulhomomorphismus

einen Modulhomomorphismus

mit

gibt.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring

Dann ist jeder freie -Modul projektiv.

Beweis  

Es sei der freie Modul mit der Basis , . Es sei ein surjektiver -Modulhomomorphismus

und ein Modulhomomorphismus

vorgegeben. Zu jedem Element gibt es ein Element mit . Nach dem Festlegungssatz für freie Moduln gibt es einen Modulhomomorphismus

mit

und hat die gewünschten Eigenschaften.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul

Dann ist genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul derart gibt, dass die direkte Summe frei ist.

Beweis  

Es sei zunächst projektiv. Da ein Erzeugendensystem , , besitzt, gibt es auch einen surjekiven -Modulhomomorphismus

Die projektive Eigenschaft, angewendet auf die Identität

zeigt, dass es einen Modulhomomorphismus

mit

gibt. Dies bedeutet

Wenn umgekehrt

frei ist, ein surjektiver -Modulhomomorphismus

und ein Modulhomomorphismus

gegeben ist, so gibt es nach Fakt, angewendet auf

einen Homomorphismus

mit

Die Einschränkung von auf hat wegen

die gewünschten Eigenschaften.




Lemma  

Es sei ein kommutativer lokaler noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist frei.
  2. ist ein projektiver Modul.
  3. ist ein flacher Modul.

Beweis  




Lemma  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist lokal frei.
  2. ist ein projektiver Modul.
  3. ist ein flacher Modul.

Beweis  


Ein endlich erzeugter projektiver Modul lässt sich nach Fakt zu einem freien Modul ergänzen, d.h. es gibt mit . Der direkte Summand ist dabei ebenfalls projektiv, ansonsten kann man über ihn keine allgemeine Aussage machen. Eine besondere Situation liegt vor, wenn dieser direkte Summand selbst frei ist. Dann liegt eine Gleichung der Form

mit vor. Es ist verlockend, zu meinen, dass man in einer solchen Situation „kürzen“ kann, also daraus auf schließen könnte. Dies ist aber nicht der Fall.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der Modul sei projektiv und besitze eine endliche freie Auflösung.

Dann gibt es einen freien Modul derart, dass frei ist.

Beweis  

Es sei

eine endliche freie Auflösung. Da projektiv ist, ist

Damit ist nach Fakt auch , also der Kern von , selbst wieder projektiv. Somit können wir mit dem surjektiven Homomorphismus

fortfahren und erhalten induktiv an jeder Stelle, dass

projektiv ist, und es ist

Daher ist




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul vom Rang . Es gebe einen freien Modul derart, dass frei ist.

Dann ist selbst frei.

Beweis  

Aufgrund der Rangeigenschaft und der Voraussetzung ist

Für die -te äußere Potenz gilt dann

Für sind die , so dass rechts allein der Summand übrig bleibt, also ist .