Kreisteilungskörper/Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Einführung/Textabschnitt

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Das quadratische Reziprozitätsgesetz gehört zu den Hauptresultaten der Zahlentheorie und wurde erstmals von Gauß bewiesen. Es seien und verschiedene ungerade Primzahlen. Es geht dann um die Frage, ob in ein Quadrat ist, also eine Quadratwurzel besitzt, oder eben nicht. Die Aussage des Satzes ist nun, dass dies in einer direkten Beziehung zu der „reziproken Eigenschaft“ steht, ob in ein Quadrat ist. Es gibt eine Reihe von ziemlich verschiedenen Beweise für diesen Satz, auch relativ elementare, siehe beispielsweise Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 8. Der Nachteile dieser elementaren Beweise ist, dass sie konzeptionell eher undurchsichtig sind. Man kann die Beweise Zeile für Zeile nachprüfen, fragt sich letztlich aber dennoch, warum die Aussage überhaupt stimmt.


Definition  

Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben (sprich „ nach “), durch

Für einfache Eigenschaften des Legendre-Symbols siehe den Anhang. Für Vielfache von im Zähler setzt man das Legendre-Symbol gleich . Für die Beziehung zwischen quadratischen Resten und Kreisteilungsringen ist das folgende Konzept entscheidend.


Definition  

Es sei eine ungerade Primzahl und die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Dann nennt man

die (erste) quadratische Gaußsumme.



Lemma  

Es sei eine ungerade Primzahl.

Dann gilt für das Quadrat der ersten quadratischen Gaußsumme die Gleichung

Beweis  

Die hintere Gleichung beruht auf Fakt. Nach Definition ist

Daher ist

Mit der neuen Variablen

können wir dies als

Für , also zwischen und , ist jedenfalls auch eine primitive -te Einheitswurzel. Für ein solches fixiertes ist

Die obige Summe ist also

da es nach Fakt gleich viele Quadrate wie Nichtquadrate in gibt.


Diese Aussage bedeutet insbesondere, dass im -ten Kreisteilungsring die quadratische Erweiterung zu oder liegt, wobei das Vorzeichen im Lemma mitbestimmt wird.



Lemma  

Es seien und verschiedene ungerade Primzahlen. Es sei der quadratische Zahlbereich zu und es sei der -te Kreisteilungsring. Es sei die multiplikative Ordnung von in . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Es ist ein Quadrat in .
  2. Über liegen in zwei Primideale.
  3. Über liegt in eine gerade Anzahl von Primidealen.
  4. Es ist ein Teiler von
  5. ist ein Quadrat in .

Beweis  

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar nach Aufgabe. Von (2) nach (3). Nach Fakt gilt , sodass diese Richtung aus Fakt folgt, da sich der nichttrivale Automorphismus der quadratischen Erweiterung zu einem Automorphismus des Kreisteilungsringes fortsetzt, der die beiden Fasern vertauscht. Von (3) nach (2). Es sei ein Primideal über . Nach Fakt  (3) ist

und nach Voraussetzung ist wegen Fakt gerade. Nach Aufgabe ist auch die Anzahl der Primideale über im Zerlegungsring und die Restekörper sind . Da der Index der Zerlegungsgruppe in der zyklischen Galoisgruppe

gerade ist, umfasst der Zerlegungskörper den quadratischen Zahlbereich. Deshalb sind auch dessen Restekörper gleich dem Grundkörper und es liegt im Zahlbereich Zerlegung vor.

Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar aufgrund von Fakt. (4) bedeutet, dass

deshalb folgt die Äquivalenz von (4) und (5) aus dem Euler-Kriterium.



Satz  

Es seien und verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

Beweis  

Nach Fakt ist unter Verwendung von Fakt und Fakt